S波(S-wave,secondary wave)是二种体波(体波的命名是因为此波穿越地球内部,相对于体波的是面波)中之一。它是因地震而产生的,被地震仪记录下来。命名为S波(二次波,secondary wave)是因为它的速度仅次于P波(最快的地震波)。S波也可以代表剪切波(shear wave),因为S波是一种横波,地球内部粒子的震动方向与震波能量传递方向是垂直的。S波与P波不同的是,S波无法穿越外地核。所以S波的阴影区正对着地震的震源。
平面剪切波
二维网格中球面S波的传播(经验模型)
S波移动时是剪切波或横波,因此其运动方向与波的传播方向是垂直的,若要形象地描述S波,可以认为S波是挥动绳子时,绳子上传播的波,这与P波是不同的。P波是一种纵波,纵波就如振动的弹簧上传播的波,其形态就像蠕虫一样。S波通过弹性介质移动,而主要的恢复力来自于剪切效应。这些波是不发散的,遵守不可压缩介质的连续性方程:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f70c85ec868f8dd21cf2662ebfa2ec2552df8be)
原理
P波阴影区。S波不会穿过外核,因此在远离震央超过104°的全部区域S波都处在阴影区中(来源:USGS)
S波预测来自于1800年代的理论,最初来自于各向同性固体的应力-应变关系:
![{\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018037e948ac9838f913cb33785c18ec874ffed7)
其中
是应力,
和
是拉梅参数(
是剪切模量),
是克罗内克函数,而应变张量定义为
![{\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dbc037fbd029997db83275f59fa6b1a0060d80a)
其中u是应变位移。将后式代入前式得到
![{\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a99e31f9c2471d658a0cf9af055a13873f32674b)
这种情况下的牛顿第二定律给出了地震波传播的运动齐次方程:
![{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3049929f515027434c584dc99b7cb7fa321e5b8)
其中
是质量密度。代入上面的应力张量得到:
![{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68264fbd301ccf295cb25f49c1623049dbcdc6aa)
利用向量恒等式并取一定的近似可得到均匀介质中的地震波方程:
![{\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bbd53db26c6ee352feddc8224b44abf88573d8)
其中牛顿标记用于表示时间导数。取方程的旋度并利用向量恒等式最终得到:
![{\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})}{\partial t^{2}}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f77c92a0f5417982314b6f206e72fbd898196a)
这一方程是一个只包含了u的旋度和速度
的波动方程,其中
满足
![{\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}\ }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2693c8b3435ff7459b2cb0f49e4cb3cc77c90b47)
这一公式描述了S波的传播。若用均匀介质中的地震波方程的散度代替旋度,则会得到描述P波传播的方程。
参见
参考文献