数值分析中,龙格-库塔法(英文:Runge-Kutta methods)是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
四阶龙格-库塔法
在各种龙格-库塔法当中有一个方法十分常用,以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格-库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时,利用计算机的仿真应用,省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
![{\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55a75501aa500a05bf46cbad9e06cb84c17f16b)
则,对于该问题的RK4由如下方程给出:
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c6c4ccafc1de85e4638275f5160abaea4889b2a)
其中
![{\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c29c02f9db39c5af84fa1f1fcfa64aa6069b2ad)
![{\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c05fe7e25aad6c7a55aafaf97aa86a67f1422d0e)
![{\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8d07ecfc6e2c0d19352badb655a1e3f78895fcd)
![{\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b553256b19a3d88fca0c12c76315ed303c1c178)
这样,下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均:
- k1是时间段开始时的斜率;
- k2是时间段中点的斜率,通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值;
- k3也是中点的斜率,但是这次采用斜率k2决定y值;
- k4是时间段终点的斜率,其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时,中点的斜率有更大的权值:
![{\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9fdc82b20f855e216dfab198b6357bdb041dcf)
RK4法是四阶方法,也就是说每步的误差是h5阶,而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格-库塔法
显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fa47cf3289c5ab2067fe46f748f33d4b6be48c)
其中
![{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c143e6ae2fbe576e8b27f7cd458caffdd0622a)
![{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1c3da55cc8b7b04a6fb47e29b5c9d3a3a5833b)
![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf1f9cd4215ea890939a606a057eb910ed3c2cc)
(注意:上述方程在不同著述中有不同但等价的定义)。
要给定一个特定的方法,必须提供整数s(级数),以及系数 aij(对于1 ≤ j < i ≤ s), bi(对于i = 1, 2, ..., s)和ci(对于i = 2, 3, ..., s)。这些数据通常排列在一个助记工具中,称为Butcher tableau(得名自约翰·C·布彻):
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0
|
|
![{\displaystyle c_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b30ba1b247fb8d334580cec68561e749d24aff2) |
|
|
![{\displaystyle c_{3}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dc52bfbaf6e577fbed72a716068f4533700bd3) |
![{\displaystyle a_{31}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c322ba2770ed3e56043ffd0247fb8b9d3aa63aa) |
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![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083) |
![{\displaystyle \vdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083) |
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![{\displaystyle a_{s,s-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1451b9dadcfd3c13dba27a753bb22a49aea92ab6) |
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![{\displaystyle b_{1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2720c91be489f57ecde4bb651b95e113d0144) |
![{\displaystyle b_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2530a260ad35bf21ee61f1f4d6493ae0474f6068) |
![{\displaystyle \cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) |
![{\displaystyle b_{s-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55357ce095ff03cd534e917301834e3b603d2f0) |
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龙格-库塔法是自洽的,如果
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c203d55a6bc408f876971cfacd5feadee5e792c)
如果要求方法的精度为p阶,即截断误差为O(hp+1)的,则还有相应的条件。这些可以从截断误差本身的定义中导出。例如,一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。
例子
RK4法处于这个框架之内。其表为:
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0
|
|
1/2 |
1/2
|
|
1/2 |
0 |
1/2
|
|
1 |
0
|
0 |
1
|
|
|
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1/6 |
1/3 |
1/3 |
1/6
|
然而,最简单的龙格-库塔法是(更早发现的)欧拉方法,其公式为
。这是唯一自洽的一级显式龙格-库塔法。相应的表为:
隐式龙格-库塔法
以上提及的显式龙格-库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格-库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格-库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格-库塔法,一般而言,隐式龙格-库塔法具有以下形式:
![{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fa47cf3289c5ab2067fe46f748f33d4b6be48c)
其中
![{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9c8d6ca5174aca1c79de8e9ef427a16785cf7b)
在显式龙格-库塔法的框架里,定义参数
的矩阵是一个下三角矩阵,而隐式龙格-库塔法并没有这个性质,这是两个方法最直观的区别:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073f970cca759dbf28b4bf35d4bdb72414977c00)
需要注意的是,与显式龙格-库塔法不同,隐式龙格-库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程组,这相应的增加了计算的成本。
参考
- George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
- Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
- William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)