Miura变换

Miura变换是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程与MKdV方程的变换关系^[1][2]

KdV方程：:${\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0}$

mKdV方程：${\displaystyle mKdVEq:=v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0}$

将 Miura 变换${\displaystyle u=v^{2}+v_{x}}$代人KdV方程，得

Eqk:${\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0}$

令 Eqm:${\displaystyle 2vmKdVEq+{\frac {\partial (mKdVEq)}{\partial x}}=0}$ 得：

Eqm:${\displaystyle 2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0}$

显然， Eqk 和 Eqm 是相同的。

利用Miura变换求MKdV方程的解。

KdV方程 的一个平凡解为

${\displaystyle u(x,t)=1}$

代人Miura变换得 ${\displaystyle v(x,t)^{2}+v(x,t)_{x}=1}$

解：${\displaystyle v(x,t)=\tanh(x+F(t))}$

其中F(t)为 t 的任意函数。

参考文献

1. R.M.Miura et al,Korteweg-de Vries Equation and Generalization II. Existance of Conservation Laws and Constants of Motion, J.Math.Phys.9 1024-1209 1968
2. 阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》第79页 《Miura变换》， 科学出版社 2007年