Hinge loss

在机器学习中，铰链损失是一个用于训练分类器的损失函数。铰链损失被用于“最大间格分类”，因此非常适合用于支持向量机 (SVM)。^[1] 对于一个预期输出 ${\displaystyle t={\pm }1}$，分类结果 ${\displaystyle y}$ 的铰链损失定义为

${\displaystyle \ell (y)=\max(0,1-t\cdot y)}$

t = 1 时变量 y（水平方向）的铰链损失（蓝色，垂直方向）与0/1损失（垂直方向；绿色为 y < 0 ，即分类错误）。注意铰接损失在 abs(y) < 1 时也会给出惩罚，对应于支持向量机中间隔的概念。

特别注意：以上式子的${\displaystyle y}$应该使用分类器的“原始输出”，而非预测标签。例如，在线性支持向量机当中，${\displaystyle y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} +b}$，其中 ${\displaystyle (\mathbf {w} ,b)}$ 是超平面参数，${\displaystyle \mathbf {x} }$是输入资料点。

当${\displaystyle t}$和${\displaystyle y}$同号（意即分类器的输出${\displaystyle y}$是正确的分类），且 ${\displaystyle |y|\geq 1}$时，铰链损失 ${\displaystyle \ell (y)=0}$。但是，当它们异号（意即分类器的输出${\displaystyle y}$是错误的分类）时，${\displaystyle \ell (y)}$ 随 ${\displaystyle y}$ 线性增长。套用相似的想法，如果 ${\displaystyle |y|<1}$，即使 ${\displaystyle t}$ 和 ${\displaystyle y}$ 同号（意即分类器的分类正确，但是间隔不足），此时仍然会有损失。

扩展

二元支持向量机经常通过一对多（winner-takes-all strategy，WTA SVM）或一对一（max-wins voting，MWV SVM）策略来扩展为多元分类，^[2] 铰接损失也可以做出类似的扩展，已有数个不同的多元分类铰接损失的变体被提出。^[3] 例如，Crammer 和 Singer ^[4] 将一个多元线性分类的铰链损失定义为^[5]

${\displaystyle \ell (y)=\max(0,1+\max _{y\neq t}\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$

其中 ${\displaystyle t}$ 为目的标签， ${\displaystyle \mathbf {w} _{t}}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {w} _{y}}$ 该模型的参数。

Weston 和 Watkins 提出了一个类似的定义，但使用求和代替了最大值：^[6][3]

${\displaystyle \ell (y)=\sum _{y\neq t}\max(0,1+\mathbf {w} _{y}\mathbf {x} -\mathbf {w} _{t}\mathbf {x} )}$

在结构预测中，铰接损失可以进一步扩展到结构化输出空间。支持间隔调整的结构化支持向量机 可以使用如下所示的铰链损失变体，其中 w 表示SVM的参数， y 为SVM的预测结果，φ 为联合特征函数，Δ 为汉明损失:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\mathbf {y} )&=\max(0,\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle -\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\\&=\max(0,\max _{y\in {\mathcal {Y}}}\left(\Delta (\mathbf {y} ,\mathbf {t} )+\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\rangle \right)-\langle \mathbf {w} ,\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\rangle )\end{aligned}}}$

优化算法

铰链损失是一种凸函数，因此许多机器学习中常用的凸优化器均可用于优化铰链损失。 它不是可微函数，但拥有一个关于线性 SVM 模型参数 w 的次导数

${\displaystyle {\frac {\partial \ell }{\partial w_{i}}}={\begin{cases}-t\cdot x_{i}&{\text{if }}t\cdot y<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其评分函数为 ${\displaystyle y=\mathbf {w} \cdot \mathbf {x} }$

三个铰链损失的变体 z = ty：“普通变体”（蓝色），平方变体（绿色），以及 Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑变体（红色）。

然而，由于铰接损失在 ${\displaystyle ty=1}$处不可导， Zhang 建议在优化时可使用平滑的变体建议，^[7] 如Rennie 和 Srebro 提出的分段平滑^[8]

${\displaystyle \ell (y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}-ty&{\text{if}}~~ty\leq 0,\\{\frac {1}{2}}(1-ty)^{2}&{\text{if}}~~0<ty\leq 1,\\0&{\text{if}}~~1\leq ty\end{cases}}}$

或平方平滑。

${\displaystyle \ell _{\gamma }(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2\gamma }}\max(0,1-ty)^{2}&{\text{if}}~~ty\geq 1-\gamma \\1-{\frac {\gamma }{2}}-ty&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Modified Huber loss ${\displaystyle L}$是${\displaystyle \gamma =2}$时损失函数的特例，此时 ${\displaystyle L(t,y)=4\ell _{2}(y)}$中。

参考文献

1. Rosasco, L.; De Vito, E. D.; Caponnetto, A.; Piana, M.; Verri, A. Are Loss Functions All the Same? (PDF). Neural Computation. 2004, 16 (5): 1063–1076 [2019-06-04]. PMID 15070510. doi:10.1162/089976604773135104. （原始内容存档 (PDF)于2020-01-11）.
2. Duan, K. B.; Keerthi, S. S. Which Is the Best Multiclass SVM Method? An Empirical Study (PDF). Multiple Classifier Systems. LNCS 3541. 2005: 278–285 [2019-06-04]. ISBN 978-3-540-26306-7. doi:10.1007/11494683_28. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-08）.
3. Doğan, Ürün; Glasmachers, Tobias; Igel, Christian. A Unified View on Multi-class Support Vector Classification (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2016, 17: 1–32 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2018-05-05）. 引用错误：带有name属性“unifiedview”的<ref>标签用不同内容定义了多次
4. Crammer, Koby; Singer, Yoram. On the algorithmic implementation of multiclass kernel-based vector machines (PDF). Journal of Machine Learning Research. 2001, 2: 265–292 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2015-08-29）.
5. Moore, Robert C.; DeNero, John. L₁ and L₂ regularization for multiclass hinge loss models (PDF). Proc. Symp. on Machine Learning in Speech and Language Processing. 2011 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-28）.
6. Weston, Jason; Watkins, Chris. Support Vector Machines for Multi-Class Pattern Recognition (PDF). European Symposium on Artificial Neural Networks. 1999 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2018-05-05）.
7. Zhang, Tong. Solving large scale linear prediction problems using stochastic gradient descent algorithms (PDF). ICML. 2004 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2019-06-04）.
8. Rennie, Jason D. M.; Srebro, Nathan. Loss Functions for Preference Levels: Regression with Discrete Ordered Labels (PDF). Proc. IJCAI Multidisciplinary Workshop on Advances in Preference Handling. 2005 [2019-06-04]. （原始内容存档 (PDF)于2015-11-06）.