齐次函数

在数学中，齐次函数（英语：Homogenous）是一个有倍数性质的函数：如果变数乘以一个系数，则新函数会是原函数再乘上系数的某次方倍。

正式定义

假设${\displaystyle f:V\rightarrow W}$是域${\displaystyle F}$内的两个向量空间之间的函数。

我们说${\displaystyle f}$是“${\displaystyle k}$次齐次函数”，如果对于所有非零的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$，都有：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )}$

即是，在欧几里得空间，${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )}$， 其中${\displaystyle f(k)}$为指数函数。

例子

• 线性函数${\displaystyle f:V\rightarrow W}$是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$，都有：$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}$$
• 多线性函数${\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W}$是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的${\displaystyle \alpha \in F}$和${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}}$都有：$${\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$$
• 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$之间的函数${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$的${\displaystyle n}$阶弗雷歇导数是${\displaystyle n}$次齐次函数。
• ${\displaystyle n}$元单项式定义了齐次函数${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$。

例如：

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}}$

是10次齐次函数，因为：

${\displaystyle (\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}}$。

• 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如：

${\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}}$

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理

• 欧拉定理：假设函数${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$是可导的，且是${\displaystyle k}$次齐次函数。那么：

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad }$。

这个结果证明如下。记${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )}$，并把以下等式两端对${\displaystyle \alpha }$求导：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$

利用复合函数求导法则，可得：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$，

因此：

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )}$。

以上的方程可以用劈形算符写为：

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})}$，

当${\displaystyle \alpha =1}$，定理即得证。

• 假设${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$是可导的，且是${\displaystyle k}$阶齐次函数。则它的一阶偏导数${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}$是${\displaystyle k-1}$阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )}$，并把以下等式两端对${\displaystyle x_{i}}$求导：

${\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )}$

利用复合函数求导法则，可得：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})}$，

因此：

${\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$

所以

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )}$.

用于解微分方程

对于以下的微分方程

${\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,}$

其中${\displaystyle I}$和${\displaystyle J}$是同次数的齐次函数，利用变量代换${\displaystyle v=y/x}$，可以把它化为可分离变量的微分方程：

${\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v}$。

参考文献

• Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德语）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Homogeneous function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Homogeneous function. PlanetMath.