无穷小量

无穷小量（英语：Infinitesimal），或称“不可分量”，是数学分析中的一个概念，用于严格地定义诸如“最终会消失的量”^[参1]、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。

定义

一个序列${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$若满足如下性质：

• 对任意的预先给定的正实数${\displaystyle \varepsilon >0}$，存在正整数${\displaystyle \displaystyle N}$使得

${\displaystyle |a_{k}|<\varepsilon }$

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$时必定成立；或用极限符号把上述性质简记为

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

则序列${\displaystyle a}$被称为${\displaystyle n\to \infty }$时的无穷小量^[注1]。

历史

无穷小量对应英语的Infinitesimals^[注2]，用于表达一种极其微小的对象，人们根本无从看见它们或者量度它们。在日常生活中，Infinitesimal作为形容词可以指“非常小”，但不一定是“无穷的小”。而中文的“无穷小量”仅是技术用语。

“无穷小的量”的概念最初在埃利亚学派有所讨论。柏克莱指出无穷小量的特性为“既不是有限量，也不是无限小，又不是零”。而阿基米德在其《机械原理方法论》（The Method of Mechanical Theorems）中初次提出过一种和无穷量有关的逻辑上严密的叙述^[参4]。但在古希腊的数学系统里，实数并没有独立的存在地位，而是用几何上的长度来表示：1是代表某条线段的规定长度，用来给出测量所需的长度单位，数的加减法用线段的延长和截短来表示。阿基米德所说的是：对任意两个长度不等（无论长度相差多少）的线段，在长线段里不断截去短线段的长度，在有限次之后就不能再截下去，因为那些短线段长度的“和”超过了原本较长的那一条。如果把线段长度理解成数的话，则反映了实数集的阿基米德性质：没有任何实数x可以满足条件|x|>1，|x|>1+1，|x|>1+1+1……，即无穷大的实数并不存在。尽管如此，阿基米德还是把无穷大量和无穷小量用于启发式的论证中，但在完整的数学证明里则拒绝使用它们，而致力于使用“穷竭法”, 类似于现在的“ε-δ语言”。

牛顿和莱布尼兹发展微积分学时使用过无穷小量，但这样的不严格使用引来一些批评者的攻击。贝克莱主教就是其中之一^[参5]。尽管数学家、科学家、工程师等不断使用无穷小量来得到正确的结果，微积分却一直到后半十九世纪才等到了更严谨的，使用了ε-δ语言和集合论描述的形式，这项工作由奥古斯丁·路易·柯西，伯纳德·波尔查诺、卡尔·魏尔施特拉斯、格奥尔格·康托尔、理查德·戴德金等人完成。随着数学的发展及康托、戴德金、魏尔施特拉斯等人及他们的追随者的探索，他们的哲学家好友伯特兰·罗素、鲁道夫·卡尔纳普等人认为“无穷小”是伪概念；但同时，赫尔曼·科恩等新康德主义者希望能找到一个保留无穷小的逻辑系统^[参6]。在二十世纪，无穷小量才得到了严格的处理，成为一种“数”。以上任何一种处理办法都不是错误的——如果正确地使用的话^[注3]。

在一份HPM（数学史与数学教学，History and Pedagogy of Mathematics）的研究中^[参7]，对无穷小量在一些数学家眼里的认识有一个总结：

人物	年代	对无穷小量的观点，或处理方法
欧几里得等古希腊数学家	公元前300年	穷竭法：他们相信用间接法才能使面积问题获得严格证明。
卡瓦列里（B. Cavalieri）	1598-1647	把无穷小量的办法推进了一步(见祖暅原理)。
沃利斯（J. Wallis）	1616-1703	他对极限的定义“含有正确的想法，但用词不严谨”。
莱布尼兹	1646-1716	其算法很成功，但“对概念不太确定”。他对于“消失中的量”的立场是复杂的，而且随时间而变。
欧拉	1707-1783	获得了很多重要结果，但不考虑真正无穷小量带来的困难。其观点受十七世纪典型的科学思维框架影响。
达朗贝尔（J. d'Alembert）	1717-1783	拒绝承认“消失中的量”。他给出过极限的定义，但措辞不明确。
拉格朗日	1736-1813	也拒绝承认无穷小量，企图把微积分归结为代数。
柯西	1789-1857	其写下的定义至今依然通用，由当时可以使用的数学语言写成。

就目前所知，在十九世纪以前没有任何形式上定义好的数学概念是直接把无穷小量当作“正常”的数来处理的，但很多想法其实已经出现。微积分的奠基人——牛顿、莱布尼兹、欧拉，以及很多其他人——以一种不严格的方式使用无穷小量，却也能得到正确而深刻的结果（类似地，实数在当时也没有正式的定义）。

关键字

• 穷竭法
• 无穷乘积
• 牛顿的流数法
• 莱布尼兹的“${\displaystyle \mathrm {d} x}$”记号
• 欧拉对级数的处理
• 一致收敛
• 严格的极限概念
• 非标准分析

经典分析中的处理

阶的比较

设${\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$，${\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$为两个序列，而且都是${\displaystyle n\to \infty }$时的无穷小量。虽然它们在${\displaystyle n}$趋于无穷时都趋于零，但趋于零的速度是有区别的。可以用如下方式比较它们的速度：

• 若对于任意正实数${\displaystyle \displaystyle c>0}$，存在正整数${\displaystyle \displaystyle N}$使得

${\displaystyle a_{k}<c\cdot b_{k}}$

在${\displaystyle \displaystyle k>N}$时总是成立，则称${\displaystyle \displaystyle a}$是${\displaystyle \displaystyle b}$的高阶无穷小^[参8]，记作

${\displaystyle \displaystyle a_{n}=o(b_{n})\quad (n\to \infty )}$

其中的${\displaystyle n\to \infty }$有时也被省略不写。

在上述定义中，也可以说无穷小量${\displaystyle a}$的阶要比${\displaystyle b}$的要高，或者说${\displaystyle a}$比${\displaystyle b}$更快地趋于零，尽管在此时“阶”或者“速度”本身其实都没有明确的定义。

性质

1. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，改变${\displaystyle \{a_{n}\}}$中的某有限项之后，它仍是无穷小量。
2. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$、${\displaystyle \{b_{n}\}}$都是无穷小量，${\displaystyle \{a_{n}+b_{n}\},\{a_{n}-b_{n}\}}$也是无穷小量。
3. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，${\displaystyle \{b_{n}\}}$是有界数列，则${\displaystyle \{a_{n}b_{n}\}}$也是无穷小量。
4. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，${\displaystyle |b_{n}|\leq |a_{n}|}$，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是无穷小量。
5. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，从${\displaystyle \{a_{n}\}}$中取出无穷多的一部分，按原来的次序排成的数列（这叫做${\displaystyle \{a_{n}\}}$的子列）也是无穷小量。
6. 把${\displaystyle \{a_{n}\}}$的次序打乱重新得到的数列${\displaystyle \{b_{n}\}}$。若${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量，则${\displaystyle \{b_{n}\}}$也是无穷小量。
7. 无穷小量是有界列。
8. 若${\displaystyle \{a_{n}\}}$的各项相等，${\displaystyle \{a_{n}\}}$是无穷小量则必有${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=\cdots =0}$。

非标准分析中的处理

设F为有序域，a为F中的一个非零元素。若对F中任意正整数n^[注4]，a < 1/n和-a > -1/n都成立（换句话说，即a的绝对值小于1/n），则称a为无穷小量。

一阶性质

在把扩充实数系使其能包含无穷大量和无穷小量时，人们希望能够尽量保持原系统的各种基本的性质^[注5]，这样的好处是，那些使用基本性质证明过的命题能够在新的系统里自动成立。这里的“基本”通常是指不对集合使用量词，但可以对集合的元素使用（有限次），比如以下公理“对任意的x，x+0=x”仍然应该成立；使用两次也行：“对任意的x和y，xy=yx”，而如果出现“对任意集合S”则不能算基本性质，在新系统中可能不成立，比如“任何形如{k∈Z|xk>y}都不是空集”就是一例（其实这就是阿基米德性质）。对命题量词的这种限制，叫做一阶逻辑。类似于阿基米德性质，实数集的完备性也不能在新的系统里成立，因为实数集是唯一的完备有序域。

注解

注:
1. ${\displaystyle n\to \infty (n\in \mathbb {N} )}$是一种滤子。无论是无穷小量、无穷大量还是极限，都需在特定滤子之下讨论。其它常见的滤子有${\displaystyle x\to -\infty (x\in \mathbb {R} )}$，${\displaystyle (x,y,z)\to (a,b,c)((x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3})}$等等。在非标准分析中，无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”，这些数比零大，但比任何正实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理，而“非标准”的无穷小量

   利用他们，罗宾逊和其他人轻松地证明了所有传统定理和部分新定理，而19世纪的方法永远无法处理这些定理。他们恢复了莱布尼兹的声誉，也纠正了我们在思考运动变化的一点偏差。

   引文^[参2]提到的罗宾逊（Abraham Robinson，一译鲁宾逊）是非标准分析的开创者之一^[参3]，他提出了无穷小量的新定义。直观的说，如果一个数比1, 1+1, 1+1+1...等任何自然数大称为无穷大；则一个数不等于零且它的倒数是无穷大称为无穷小。但这种数的存在与否，甚至能不能合法的称作一种“数”等问题，都是需要进一步考虑的本质问题。

2. 此词源于十七世纪的现代拉丁语新造词infinitesimus,本来是指一个序列的“第无穷个”元素
3. 不严格的处理办法，一般来讲要求使用者具有更正确的数学直觉。
4. F中的正整数集定义为满足如下性质的最小集合A：A含有乘法单位元（即1∈A)，且只要n∈A，n+1∈A也一定成立。

参考资料

参:
1. vanishing quantity，可见于非正式的数学描述，如 Theodor Gomperz(2007) 的 Greek Thinkers - A History of Ancient Philosophy （READ BOOKS 出版, ISBN 1406766054620） 第197页：“If we take counsel to the mathematicians, we shall be advised to neglect the infinitesimally small or vanishing quantity...”
2. 《零的历史》196页。卡普兰著，郝以磊，茹季月译，中信出版社出版(2005)。ISBN 7-5086-0158-0
3. 〔美〕道本周(Joseph W. Dauben（英语：Joseph W. Dauben）)原著：《非标准分析创始人：鲁宾逊》，王前等译，科学出版社，ISBN 7-03-015151-8
4. 阿基米德著《机械原理方法论》；见阿基米德羊皮书
5. 乔治·贝克莱《分析者》（The Analyst; 或者“向异端数学家发表的演说”）
6. Mormann, Thomas; Katz, Mikhail. Infinitesimals as an Issue of Neo-Kantian Philosophy of Science. HOPOS: The Journal of the International Society for the History of Philosophy of Science. Fall 2013, 3 (2): 236–280. JSTOR 10.1086/671348. arXiv:1304.1027 . doi:10.1086/671348.
7. Giorgio BAGNI(2004), “HISTORY OF CALCULUS FROM EUDOXUS TO CAUCHY” --- Historical investigation and interpretation and Mathematics education, Proceedings of HPM–2004 & ESU–4, Revised edition (pp. 529–536). Crete: Emedia, University of Crete.
8. 可参考《微积分/I》§2.3，清华大学出版社(2003)，ISBN 7-302-06785-6