阶幂

在数学中，正整数的阶幂（英语：expofactorial 或 exponential factorial）是所有小于及等于该数的正整数的幂，记作 n$ ，例如：

${\displaystyle 4\$=4^{3^{2^{1}}}=262144}$。

阶幂是阶加和阶乘在幂运算上的类比。

前几项的阶幂数为

1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS数列A049384）

阶幂的增长率比阶乘，甚至过级阶乘还要快。到了5的阶幂，已经是 ${\displaystyle 5\$=5^{262144}\approx 6.206069878660874\times 10^{183230}}$。

定义

一般地说，对于正整数 n，

${\displaystyle n\$=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}$

从上述公式中，可以推导出递推关系：

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}1\$&=1\\n\$&=n^{(n-1)\$}\end{aligned}}\right.}$。

递推关系在阶幂函数中任意正整数 n 皆成立，例如：

${\displaystyle {\begin{aligned}5\$&=5^{4\$}\\6\$&=6^{5\$}\\50\$&=50^{49\$}\end{aligned}}}$

非正整数的扩展

阶幂原始的定义只在正整数上。不同于阶乘，阶幂的定义域从正整数推广到实数和复数的过程中，遇到了困难。

与迭代幂次相似，由于幂塔高度为 0 的数值并没有一个广为接受的良好定义， ${\displaystyle 0\$}$ 并未定义。阶幂亦不像阶乘般，存在如伽玛函数一样的函数，作为其对实数以至复数的扩展。

变化

双阶幂

类比于双阶乘，能够为正整数 n 定义双阶幂（double expofactorial）。

当 ${\displaystyle n}$ 是单数，${\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}}}$ 。

当 ${\displaystyle n}$ 是双数，${\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}}}$ 。

多重阶幂

双阶幂能进一步推广为多重阶幂（multiple expofactorial）。 ${\displaystyle n\$_{(m)}}$被称为 n 的 m 重阶幂，定义为

${\displaystyle n\$_{(m)}=\left\{{\begin{aligned}&1\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<m\\&n^{(n-m)\$_{(m)}}&&{\mbox{if }}n\geq m\quad \ \ \,\end{aligned}}\right.}$。

例如， ${\displaystyle 7\$_{(3)}=7^{4^{1}}=2401}$。

超级阶幂

类比于由尼尔·斯洛恩和西蒙·普劳夫定义的超级阶乘，我们能定义超级阶幂（superexpofactorial）为首 n 个阶幂的叠幂，记作${\displaystyle \operatorname {se} (n)}$。

${\displaystyle \operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}}$

例如， ${\displaystyle \operatorname {se} (3)={(3^{2^{1}})}^{({2^{1}})^{1}}=81}$

前几个超级阶幂为

1 , 2 , 81, ...

第四个超级阶幂值约为${\displaystyle 7.975\times 10^{438}}$。

过级阶幂

过级阶幂（hyperexpofactorial）写作 ${\displaystyle \operatorname {he} (n)}$ ，其定义为

${\displaystyle \operatorname {he} (n)={^{n}n}_{}^{{^{n-1}(n-1)}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}}}$，

其中 ${\displaystyle {^{b}a}}$ 表示迭代幂次。

例如， ${\displaystyle \operatorname {he} (3)={(3^{3^{3}})}^{({2^{2}})^{1}}}$

前几项的过级阶幂为

1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...

第四个过级阶幂值约为${\displaystyle 10^{10^{205.43}}}$。

倒数阶幂

倒数阶幂（reciprocal expofactorial）是指所有小于及等于该数的正整数之倒数的叠幂：

${\displaystyle {\frac {1}{n}}_{}^{({\frac {1}{n-1}})^{({{\frac {1}{n-2}})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{({\frac {1}{3}})}^{{({\frac {1}{2}})}^{1}}}}}}}}}$。

阶幂的和及积

首 n 个阶幂的和为

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\$=1\$+2\$+3\$+\cdots +n\$}$。

首 n 个阶幂的积为

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k\$=1\$\times 2\$\times 3\$\times \cdots \times n\$}$。

以上两个数值的增长率，要比阶幂本身还要快。

首 n 个阶幂倒数的和为

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\$}}=1+{\frac {1}{2\$}}+{\frac {1}{3\$}}+\cdots +{\frac {1}{n\$}}}$。

当 n 趋向无穷大，其值收敛于 ${\displaystyle 1.6111149258083767361111...}$。（OEIS数列A080219）

参见

• 阶加
• 阶乘

参考文献

• Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
• Jonathan Sondow, "Exponential Factorial （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From Mathworld, a Wolfram Web resource
• Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.