布里渊函数和郎之万函数
维基百科,自由的 encyclopedia
布里渊函数和郎之万函数(Brillouin and Langevin functions)是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。
布里渊函数
其中, 为实数,
为正整数或半整数,函数的值域为从-1(
)到1(
)。
布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度 与外加 磁场
、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出:[1]
其中, 单位体积内原子的数目,
为g因数(英语:g-factor (physics)),
为玻尔磁子,
为外场中磁矩的塞曼能(英语:Zeeman energy)与无规热能
之比:
其中, 为 波尔兹曼常数,
为绝对温度。
郎之万函数
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b6/Langevin_function.png/320px-Langevin_function.png)
在经典极限,磁矩可以连续地沿外场取向,,布里渊函数可以化简为郎之万函数,形式为:
在高分子物理学中,受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述:[3]
其中,为 库恩长度,
为高分子链长,
为施加在链末端的外力。
当x为小量时,郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似:
郎之万函数还可以由以下连分式近似:
郎之万函数的逆函数可由下式近似:[4]
其中,x的取值范围为(-1, 1)。
当x比较小时,一个更好的近似为:
高温极限
当 时,即
很小,磁矩可以由居里定律近似:
其中 为常数,
为有效波尔磁子数目。
强场极限
当 ,布里渊函数的值趋于 1,材料的磁化强度饱和,磁矩的取向完全沿外场方向,于是有
参考文献
- C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
- Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307.
- Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7.
- Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640.
- Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.