达西–威斯巴哈方程式

达西–威斯巴哈方程式（英语：Darcy–Weisbach equation）是流体力学中的唯象方程式，得名自物理学家亨利·达西和尤利乌斯·威斯巴哈（英语：Julius Weisbach），此方程式描述固定长度管路内因摩擦力产生的扬程损失（或称为压强损失）和管路中的平均流速的关系。

达西–威斯巴哈方程式中包括一个无因次的摩擦因子，名为达西–威斯巴哈摩擦因子或达西摩擦因子，此摩擦因子是范甯摩擦系数的四倍^[1]。

压力损失方程

在均匀直径D的圆管，流体完全填满圆管，因为粘滞效应造成的压力损失Δp和其圆管长度L成正比，可以用达西–威斯巴哈方程式来描述^[2]：

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},}$

其中单位长度的压力损失Δp/L（SI制单位：Pa/m）是以下参数的函数：

${\displaystyle \rho }$，流体密度（kg/m³）

${\displaystyle D_{H}}$，管子的水力直径（若是圆管，水力直径等于D，否则D_H = 4A/P，A是管子的浸润横截面积，P)是管子的浸润周长，m）

${\displaystyle \langle v\rangle }$，平均流速，可以表示为单位截面浸润面积下的体积流率 Q（m/s）

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$，是达西摩擦因子（也称是flow coefficient λ^[3][4]），可以在穆迪图中找到，此因子并非范宁摩擦因子f。

针对直流为${\displaystyle D_{c}}$圆管下的层流，摩擦因子和雷诺数成反比（f_D = 64/Re），此时的因子可以用容易量测或是已发表的物理量描述。将上式代入达西–威斯巴哈方程式，可将方程式改写为

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

其中

μ是流体的黏度（Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)）

Q是体积流率，此处用体积流率代替平均流速，因为Q = π/4D_c²<v>（m³/s）。

层流时的公式和泊肃叶定律等效，可以由纳维-斯托克斯方程推导。

扬程损失公式

扬程损失 Δh（或h_f）表示因为摩擦力产生的压力损失，以工作流体的液柱高度表示，因此压力损失为

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

其中

Δh是特定长度，此长度管壁摩擦产生的扬程损失（SI制单位：m）

g是重力加速度（m/s²）。

可以将损程表示为单位管长下的量，会是无因次量：

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

其中L是管长（m）。

因此达西–威斯巴哈方程式也可以用扬程损失来表示^[5]：

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

以体积流率表示

平均流体速度<v>和体积流率Q的关系是

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

其中

Q 是体积流率（m³/s）

A 是湿润截面积（m²）

针对截面完全被流体填满，直径为${\displaystyle D_{c}}$的圆管，

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

因此以Q表示的达西–威斯巴哈方程式为

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

达西摩擦因子

参见：达西摩擦因子公式（英语：Darcy friction factor formulae）

流体流经一定管径的直管时，由于流体内摩擦力而产生的阻力，阻力的大小与路程长度成正比。沿程阻力（直管阻力）损失的计算式中 λ——摩擦系数，与雷诺数Re和管壁粗糙度ε有关，可实验测定，也可计算得出。

层流时：

λ=64/Re

对于紊流流动，工程上通过以下两种途径确定：一种是以紊流的半经验理论为基础，结合实验结果，整理成阻力系数的半经验公式，比如穆迪图；另一种是直接根据实验结果，综合成阻力系数的经验公式。前者具有更为普遍的意义。

相关条目

• 泊肃叶定律
• 水管
• 范甯摩擦系数

参考资料

1. Manning, Francis S.; Thompson, Richard E., Oilfield Processing of Petroleum. Vol. 1: Natural Gas, PennWell Books, 1991, ISBN 0-87814-343-2, 420 pages. See page 293.
2. Howell, Glen. 3.9.2. Aerospace Fluid Component Designers' Handbook I. Redondo Beach CA: TRW Systems Group. 1970-02-01. p. 87, equation 3.9.2.1e. （原始内容存档于October 20, 2020） –通过Defense Technical Information Center.
3. Rouse, H. Elementary Mechanics of Fluids. John Wiley & Sons. 1946.
4. Incopera, Frank P.; Dewitt, David P. Fundamentals of Heat and Mass Transfer 5th. John Wiley & Sons. 2002: 470 paragraph 3.
5. Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. Engineering Fluid Mechanics 8th. John Wiley & Sons. 2005. p. 379; Eq. 10:23, 10:24, paragraph 4.

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.}$