达布变换(Darboux Transformation)是1882年法国数学家达布发现的一种求偏微分方程精确显式解的变换法。达布变换在求KdV方程,MKdV方程,高维AKNS系统,sine-Gordon方程,sinh-Gordon方程,高阶Broer Kaup系统的精确解方面,有广泛用途。
1882年,达布研究一维薛定谔方程的特征值问题:[1]
![{\displaystyle -\partial _{x}^{2}\phi -u(x)\phi =\lambda \phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce74b7d6638ab6ad758ca9c531848c76f6b36bf7)
他发现作一个变换:
![{\displaystyle (u,\phi )\to (u',\phi ')}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c49cfb91ab72b5d6da476cb857bc03bd03a510)
其中
其中
是
时一维薛定谔方程的解,
则当
时,
和
必定满足另一个相关的一维薛定谔方程:
λ![{\displaystyle \phi '}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5304c739c4deec1d259e3235a419e6177fe77a)
达布变换也称为Bäcklund变换,其特点在于根据已知的一个解作为种子,经过变换之后,获得完全可积的新方程组,由此得出另一个新的解。[2]。