在线性代数与矩阵论中，一个矩阵的子矩阵之舒尔补是一个与其余子阵同样大小的矩阵，定义如下：假设一个 (p+q)×(p+q)的矩阵M被分为A, B, C, D四个部分，分别是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩阵，也就是说：
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
并且D是可逆的矩阵。则D在矩阵中的舒尔补是：
这是一个p×p的矩阵。
舒尔补得名于数学家伊赛·舒尔，后者用舒尔补来证明舒尔引理。然而，舒尔补的概念在之前就曾经被使用过[1]。
舒尔补实际上是对原来的矩阵M进行一系列的初等变换操作后得到的矩阵，其转换矩阵是下三角矩阵：
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3baa130f2dd9d92909bbd80bb9638794b80bb)
其中Ip表示一个p×p的单位矩阵。矩阵M右乘转换矩阵L之后，左上角就会出现舒尔补，具体的形式是：
![{\displaystyle M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b640cc867f92d5c37d4bba26fd53c83d1c8642f)
因此，矩阵M的逆，如果存在的话，可以用
以及其舒尔补（如果存在的话）来表示：
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b23deff96c6098bb63dc71c9850da774f0a02c)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b38d1b9faf07303d9d03160f4ea900c5331fd)
当p和q都等于1（即A、B、C和D都是系数）时，我们可以得到一般的2 × 2的矩阵的逆矩阵表达式：
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
这也说明了
是非零的数。
假设有分别属于Rn以及Rm的随机列向量X, Y ，并且Rn+m中的向量对 (X, Y)具有多维正态分布，其方差矩阵是对称的正定矩阵
![{\displaystyle V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d1e0d9b2e09495f32e17eff341787170e6756a)
那么X在Y给定时的条件方差是矩阵C在V中的舒尔补：
Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716.
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3baa130f2dd9d92909bbd80bb9638794b80bb)
![{\displaystyle M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b640cc867f92d5c37d4bba26fd53c83d1c8642f)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b23deff96c6098bb63dc71c9850da774f0a02c)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b38d1b9faf07303d9d03160f4ea900c5331fd)
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
![{\displaystyle V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d1e0d9b2e09495f32e17eff341787170e6756a)
