简单多胞形

在几何学中，d维简单多胞形（或称简单d维多胞形）是指顶点恰好只与d条棱（或d个维面）相接的d维多胞形。 d维简单多胞形的顶点图为(d−1)维单纯形。^[1]

三维关联多面体（英语：Associahedron）。每个顶点都恰好与三个边、三个面相邻，因此这是一个简单多胞形

简单多胞形在拓朴上的对偶是单纯多胞形（英语：Simplicial polytope）。同时是单纯多胞形又是简单多胞形的几何体是单纯形或二维多边形^{[注 2]}。 在这个定义下的三维情形是简单多面体，这种简单多面体^{[注 3]}是指每个顶点指与三个面相邻或每个顶点只与三条棱相接的多面体。这种简单多面体的对偶多面体为“单纯多面体”（即三角面多面体），其所有面都是三角形。^[2]

范例

三维空间的简单多胞形可称为简单多面体^{[注 3]}，其包括了棱柱（包括立方体）、正四面体和正十二面体，也有包括部分的阿基米德立体：截角四面体、截角立方体、截角八面体、大斜方截半立方体、截角十二面体、截角二十面体和大斜方截半二十面体。 一般来说，任何多面体都可以透过截去分支度为4或更高分支度的顶点来转换成简单多面体。 例如截对角偏方面体是截去偏方面体的高分支度顶点构成的，截对角偏方面体也是一种简单多面体。

四维空间的简单多胞形包括了正一百二十胞体和超立方体。简单均匀四维多胞形（英语：Uniform 4-polytope）包括了截角正五胞体、截角超立方体、截角正二十四胞体、截角正一百二十胞体、柱体柱。此外，所有的过截角四维多胞体都是简单多胞形。

更高维度的简单多胞形包括了d维单纯形、超方形、关联多面体（英语：Associahedron）和排列多面体（英语：Permutohedron）。

唯一建构

米夏·佩尔斯（英语：Micha Perles）推测简单多胞形完全由其一阶骨架（1-skeleton）所决定。^[3]他的猜想于 1987年被罗斯威莎·布林德（英语：Roswitha Blind）和彼得·马尼·莱维茨卡（Peter Mani-Levitska）证明。后来吉尔卡莱（英语：Gil Kalai）基于唯一沉向（英语：unique sink orientations）理论对此结论提供了更简洁的证明。^[4]

参见

• 单纯多胞形（英语：Simplicial polytope）

注释

1. 多边形中，有位于实空间和复空间的多边形，位于复空间的多边形称为复多边形，两者性质有些许不同，因此在特定情况下需要明确区分。
2. 由于简单多胞形是指在该形状所在的维度下，顶点分支度与维度数相同的几何结构。 而所有实空间^{[注 1]}平面多边形顶点的分支度皆为2，因此在多边形中，“简单多边形”这个术语通常不是指简单多胞形在二维空间的类比，而是指另一个概念——周界不相交的多边形。详见简单多边形。
3. 简单多面体有两种定义，一种是简单多边形推广到三维空间的多面体，这种多面体的定义是不存在自相交之面的多面体；另外一种定义是简单多胞形的三维特例，也称为简单多面体。实际上要依照前后文进行判断是指哪一种立体。

参考文献

1. Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer: 8, 2012, ISBN 9780387943657
2. Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 341, 1997, ISBN 0-521-66405-5
3. Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter, Puzzles and polytope isomorphisms, Aequationes Mathematicae, 1987, 34 (2-3): 287–297, MR 0921106, doi:10.1007/BF01830678
4. Kalai, Gil, A simple way to tell a simple polytope from its graph, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 1988, 49 (2): 381–383, MR 0964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7