同构基本定理
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同构基本定理,或称同态基本定理、同型定理(英语:Isomorphism theorems),包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。
历史
此条目没有列出任何参考或来源。 (2012年2月28日) |
同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。
群同构基本定理
群论中的同构基本定理形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。
群同构第一定理
给定一个群同态 ,根据群同态第一基本定理,我们可以把
除以
的核,使
变成单射。
直观来讲,把一个群除以
的子群
相当于把
里的元素看成0(一元素)。把
的核除掉后,我们使得
只在
时才会成立,这是
的单射性的等价叙述。
我们必须先确定商群具有群的结构,才可以对进行讨论。
定理:
给定和
两个群,和
群同态。则
是一个
的正规子群。
证明:
记 为
和
的运算符号,记
和
他们的单位元,我们可以验证
在共轭运算下封闭,即对于所有
、所有
,有
。
我们有。由于
在
里面,即
,我们推论
。因此,
在
里面,故
是
的正规子群。
是
的正规子群的这个性质让我们可以在商群
上定义一个与
的运算规则相容的运算规则。因为相容性的缘故,群同态
诱导出群同构
。
我们有以下的定理:
群同构第一定理
给定和
两个群,
群同态,则
诱导出一个从
打到
的群同构。
证明:
记为
的核。我们定义
为
.
- 函数
定义良好,即
只依赖于
而与代表
的选择无关。理由是,若
是
的一个代表,即若
,则
,所以
,从而
。
- 由商群运算的定义,
是一个群同态。
- 群同态
满射:对于所有
,存在
使得
,由此
。
- 群同态
单射。理由是:考虑
的核里的任意元素
,则
,即
在
的核
里面。又
是
的单位元。
这个定理也可以想成是一个单射与一个满射的复合,以下为示意图
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/GroupHomomorphismFactorization_.svg/220px-GroupHomomorphismFactorization_.svg.png)
群同构第二定理
群同构第二定理:
给定群 、其正规子群
、其子群
,则
是
的正规子群,且我们有群同构如下:
证明:
- 必须先证明
确实是一个群,以及
限定在
中亦是一个正规子群,才能讨论商群
。
设 和
为
中的两个元素。我们有
,其中
,
(因为
在
中正规) 且
,故
在
中,其证明了
在乘法下封闭。不难证明他不是空集合、以及逆元的封闭性。
此外,我们有 的包含关系,并且
在
中正规,所以也在
中正规。
- 为了建构群同构,我们将使用群同构第一定理。
取 单射群同态,定义为
,
取标准满射
(值域是个群,因为
在
中正规)。借由复合两个群同态,我们建构出一个新的群同态
定义为
。
- 群同态
是满射。
理由是,设 ,其中
且
。由于
在
里面,
,故
。
的核是
。
理由是, 是
的单位元,即
当且仅当,
在
里面。由于
已经在
里面,所以证明这个相当于证明
在
里面。
- 由群同构第一定理知
是
的正规子群,且其诱导出的映射
是群同构。
如果我们弱化前提,假设 的正规化子包含
(把相等改成包含)这个定理依然正确。
群同构第三定理
群同构第三定理:
给定群 ,
和
为
的正规子群,满足
包含于
,则
是
的正规子群,且有如下的群同构:
证明:
为满射,其核为
所以可由群同构第一定理得到
环和模上的形式
- 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
- 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
- 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H + K而不再用HK表示。具体的定义是:
推广
在泛代数中,正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。
第一同构定理
设A和B是两个代数结构,f是A到B的态射,则A等价关系:a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类,并且A/
同构于f的像(B的子代数)。
第二同构定理
设B是A的子代数,是A上的同余类。令[B]
是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/
的一个子集;
是
限制在
B × B上的部分。那么[B]
是A/
的子代数结构,
是B上的同余类,并且[B]
同构于B/
。
第三同构定理
设A是一个代数结构,和
是A上的两个同余关系,
包含于
。则
定义了A/
上的一个同余类
:[a]~[b]当且仅当a与b关于
同余([a]表示a所在的
-等价类),并且A/
同构于(A/
)/
。