积度量

在数学里，积度量（product metric）是在两个以上度量空间之笛卡尔积内的度量。n 个度量空间之笛卡尔积的积度量，可视为是将 n 个子空间的范数作为 n 维向量之各分量，取其 p-范数所得之值。

${\displaystyle d_{p}(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})=\|(d_{1}(\mathbf {x} _{1}),\dots ,d_{n}(\mathbf {x} _{n}))\|_{p}}$

定义

令 ${\displaystyle (X,d_{X})}$ 与 ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ 为度量空间，且令 ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$。${\displaystyle X\times Y}$ 上之 p-积度量 ${\displaystyle d_{p}}$ 定义为

对于 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ 及 ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$，

${\displaystyle d_{p}\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\left(d_{X}(x_{1},x_{2})^{p}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{p}\right)^{1/p}}$ for ${\displaystyle 1\leq p<\infty ;}$

${\displaystyle d_{\infty }\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\max \left\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\right\}.}$

范数的选择

在欧氏空间里，使用 L₂ 范数会在积空间里产生欧几里得度量；不过，选择 p 的其他值也会形成其他拓扑等价的度量空间。在度量空间范畴（具有利普希茨常数为 1 的利普希茨映射）里，使用上确界范数。

参考资料

• Deza, Michel Marie; Deza, Elena, Encyclopedia of Distances, Springer-Verlag: 83, 2009.