设有矩阵:
它的迹是:
= 3 + 9 + 4 = 16
设系数域为
的
是一个有限维的向量空间,维数是n。给定任一线性映射
,可以定义此一映射的迹数为其变换矩阵的迹,即选定
的一个基底并用对应于此基底的一个方形矩阵描述
,再定义这个方形矩阵的迹数为
的迹数。这个定义下
的迹数和所选取的基无关:只需要注意到不同的基底的选取实际上等价于对变换矩阵做一次相似变换,而两个相似的矩阵的迹数是一样的。因此这样的定义是自洽的。
另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑
的一个基底
,以及函数:
根据行列式理论,这个函数也是一个行列式型的函数,也就是说存在一个只取决于
的量
,使得
[5]
可以证明,这个纯量
就等于之前定义的
的迹数[6]。
由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数,所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度。
- A是m×m矩阵时,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b6e611b9cd15d54ebade6549cbe3cb801f01a21)
- m×m矩阵A可逆时,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/defd84e3dd597378eeedf44b72bf547c72d04095)
- 对于两个向量x和y的外积,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4983a0535affe6188dd69eb490e9e635a5cfb479)
- 若A为m×n矩阵,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3338b99eb70cccd688184607c3e9aad456fc33)
- 若A为m×m矩阵,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc9c01216a95b936444fecfb1708f01cd4cc135)
- 若A为m×n矩阵,B是m×n矩阵,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15d0d17c325a54360973700d9bb707c3b7cbed2)
- 若A为m×n矩阵,B是n×m矩阵,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21bbe875c75cf2ea42cdecaf994835215e977be)
- 当A和B均为对称矩阵时,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963e689d879a8da3708885e4c6a3b533897aa77a)
- 若A和B都是m×m矩阵,并且A是非奇异矩阵,有
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205f8b8e19f6646d49b0ebe2070fe2df28542c62)
Carl Dean Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra,第110页
Karim M. Abadir,Jan R. Magnus, Matrix algebra,第168页
Werner, Linear Algebra,第126页
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- (英文)Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0521537469.