在向量微积分和物理学中,向量场(英语:vector field)[1]是把空间中的每一点指派到一个向量的映射[2]。物理学中的向量场有风场、引力场、电磁场、水流场等等。
设X是Rn里的一个连通开集,一个向量场就是一个向量函数
![{\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8870a8877471fddd681ebe13ec436d75a7b2eb4)
我们称
为一个Ck向量场,如果
在X上是k次连续可微的。
在X内,一个点x被称为固定的,若
![{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2b0e497a75c30009a922deb992dcc74fc39a6f)
向量场可以理解为一个n维空间,其中对X内每一个点都有个附着的n维向量。
给定两个定义于X上的Ck-向量场F,G以及一个定义于X上的Ck-实值函数f,可以定义以下运算
![{\displaystyle (f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eb68fb280e2865801df52bece8ed7b74c81797)
![{\displaystyle \mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bfa439f8015a25ed74e09890be436b5e676d889)
如此便可定义在Ck函数的环上的Ck向量场的模。