相图 (动态系统)

相图是在用绘图的方式在相平面上表示动态系统的轨迹。每一个不同的初始条件都用一条曲线（或是一个点）表示。

单摆的位能及相图。其中X轴是角度，有2π的周期性

用单摆的运动来推导相图

范德波尔方程式 ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\epsilon (y^{2}-1){\frac {dy}{dt}}+y=0,\quad \epsilon =1}$的相图

在研究动态系统时，相图是很重要的工具。相图是由在相空间中各点轨迹的点图（英语：plot (graphics)）组成。相图可以看出动态系统在给定的参数下，是否有吸引子、排斥子或是极限环。拓扑等价（英语：topological conjugacy）的概念在为系统行为分类时非常重要，例如二个不同的相图可能会出现相同的本质性动态特性。

在相图中会描绘系统的轨迹（以箭头表示）、稳定稳态（以黑点表示）及不稳定稳态（以圆圈点表示），相图的轴对应状态变数。

例子

• 单摆的相图（右图）
• 简易的谐振子，相图是一组中心点在原点的椭圆。
• 范德波尔振荡器的相图（右图）
• 分枝图（英语：Bifurcation diagram）
• 曼德博集合

微分方程行为的可视化

相图可以呈现微分方程（ODE）系统的行为，也可以看出系统的稳定性^[1]

稳定性^[1]

不稳定	随着时间增加，系统大部分的解会逐渐趋近∞
渐近稳定	随着时间增加，系统所有的解会逐渐趋近0
中性稳定	随着时间增加，系统中没有解会趋近∞，但大部分的解也没有趋近0

ODE系统相图上的特性也可以用系统的特征值或迹（trace）以及行列式判别（迹 = λ₁ + λ₂，行列式 = λ₁ x λ₂）^[1]

相图行为^[1]

特征值、迹、行列式	相图形状
λ1 & λ2为实数，异号 行列式 < 0	鞍型（不稳定）
λ1 & λ2为实数，同号，λ1 ≠ λ2; 0 < 行列式 < (trace2 / 4)	节点（迹 < 0 表示稳定，迹 > 0 表示不稳定）
λ1 & λ2均有实部有虚部 (trace2 / 4) < determinant	螺旋（trace < 0 表示稳定，trace > 0 表示不稳定）

相关条目

• 相空间
• 相平面

参考资料

1. Haynes Miller, and Arthur Mattuck. 18.03 Differential Equations. Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/)

• Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1. Chapter 1.
• Steven Strogatz. Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. 2001. ISBN 9780738204536.

外部链接

• Phase Portrait Generator （页面存档备份，存于互联网档案馆） a tool for sketching phase portraits of 2D systems.
• Linear Phase Portraits （页面存档备份，存于互联网档案馆）, an MIT Mathlet.