柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一阶常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奥古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。

局部定理

设E为一个完备的有限维赋范向量空间（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数：

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}}$

其中U为E中的一个开集，I是${\displaystyle \mathbb {R} }$中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)}$

如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说，

${\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}$

那么对于任一给定的初始条件： ${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$，其中 ${\displaystyle t_{0}\in I}$、${\displaystyle x_{0}\in U}$，微分方程（1）存在一个解 ${\displaystyle (J,x(t))}$，其中 ${\displaystyle J\subset I}$ 是一个包含 ${\displaystyle t_{0}}$ 的区间，${\displaystyle x(t)}$ 是一个从 ${\displaystyle J}$ 射到 ${\displaystyle U}$ 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。

局部唯一性：在包含点${\displaystyle t_{0}}$的足够小的${\displaystyle J}$区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。

这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$）时，下一刻的情况是唯一确定的。

局部定理的证明

一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列${\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})}$，使得${\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)}$，这样，如果这个序列有一个收敛点 ${\displaystyle y}$ ，那么${\displaystyle y}$为函数${\displaystyle \Phi }$的不动点，这时就有${\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}$，于是我们构造出了一个解${\displaystyle y}$。为此，我们从常数函数

${\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ }$开始。令

${\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}$

这样构造出来的函数列${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}}$中的每个函数都满足初始条件。并且由于 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle U}$ 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候，${\displaystyle \Phi }$成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于${\displaystyle \Phi }$的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。

由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。

最大解定理

局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解${\displaystyle \ (J,x(t))}$、${\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}$，定义一个序关系：${\displaystyle \ (J,x(t))}$小于${\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}$当且仅当 ${\displaystyle J\subset J^{\prime }}$，并且${\displaystyle x^{\prime }(t)}$在${\displaystyle \ J}$上的值与${\displaystyle \ x(t)}$一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。

证明思路

解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。

解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。

扩展至高阶常微分方程

对于一元的高阶常微分方程

${\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}$，

只需构造向量${\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}$和相应的映射${\displaystyle \ \Phi }$，就可以使得（2）变为${\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}$。这时的初始条件为${\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}$，即

${\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}$

扩展至偏微分方程

对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。

参见

• 常微分方程
• 柯西-克瓦列夫斯基定理
• 动力系统
• 初值问题
• 利普希茨条件
• 弗罗贝尼乌斯定理
• 皮亚诺存在性定理

参考资料

• 常微分方程（组）基本理论^{[永久失效链接]}
• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （页面存档备份，存于互联网档案馆） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明）

相关链接

• 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文^{[永久失效链接]}