![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Disambig_gray.svg/25px-Disambig_gray.svg.png)
此条目页的主题是变分法中的结论。关于组合数学中的原理,请见“
抽屉原理”。
在数学中的位势论里,狄利克雷原理是关于在
中的某个区域
上的泊松方程
![{\displaystyle \Delta u+f=0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab912246ab033dde2b7caaa6e060db68cf71d1df)
满足边界条件
- 在
上 ![{\displaystyle u=g\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/007dc138541d350da0a01dc1126bf38ae09a12f0)
的解 u(x) 的刻画。原理说明,u(x) 是使得狄利克雷势能
![{\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08fef9cd6d5e71aa3a1977a082a1eb098436378)
最小的几乎处处二次可导,并且在边界
上满足
的函数
(如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话)。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。
由于以上的狄利克雷积分是下有界的,因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到,直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。