状态转移矩阵

状态转移矩阵（state-transition matrix）是控制理论中的矩阵，是时间${\displaystyle t}$和初始时间${\displaystyle t_{0}}$的函数，可以将时间${\displaystyle t_{0}}$的状态向量${\displaystyle x}$和此矩阵相乘，得到时间${\displaystyle t}$时的状态向量${\displaystyle x}$。状态转移矩阵可以用来找线性动态系统的通解。

线性系统的解

状态转移矩阵用来找以下形式线性系统在状态空间下的解：

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}}$,

其中${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$为系统状态，${\displaystyle \mathbf {u} (t)}$为输入信号，而${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$为时间${\displaystyle t_{0}}$时的初始条件。利用状态转移矩阵${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$，其解如下^[1][2]：

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau }$

第一项为零输入响应（zero-input response），第二项为零状态响应（zero-state response）。

Peano-Baker级数解

更广义的状态转移矩阵可以用Peano-Baker级数解求得

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...}$

其中${\displaystyle \mathbf {I} }$为单位矩阵。此矩阵均匀收敛到一个存在而且唯一的解，而且是绝对收敛^[2]。

其他性质

状态转移矩阵${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )}$可以表示为下式

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )}$

其中${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$为基础矩阵，满足下式

${\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)}$

状态转移矩阵是${\displaystyle n\times n}$的矩阵，是会映射到本身的线性映射。若${\displaystyle \mathbf {u} (t)=0}$，再给定任意时间${\displaystyle \tau }$下的状态${\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}$，另一个时间${\displaystyle t}$的状态可由以下映射求得

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )}$

状态转移矩阵恒满足以下的关系：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$ and

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I}$对于所有的${\displaystyle \tau }$，其中${\displaystyle I}$为单位矩阵^[3]。

${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$也有以下的性质：

1.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t_{2},t_{1})\mathbf {\Phi } (t_{1},t_{0})=\mathbf {\Phi } (t_{2},t_{0})}$
2.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )=\mathbf {\Phi } (\tau ,t)}$
3.	${\displaystyle \mathbf {\Phi } ^{-1}(t,\tau )\mathbf {\Phi } (t,\tau )=I}$
4.	${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{dt}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})}$

若系统是时不变系统，可以将${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$定义为

${\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}}$

在时变系统的例子中，可能有许多不同的函数满足上述条件，而解和系统的结构有关。在分析时变系统的解之前，需要先确定其状态转移矩阵。

注解

• Baake, M.; Schlaegel, U. The Peano Baker Series 275. 2011: 155–159. |journal=被忽略 (帮助)
• Brogan, W.L. Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7.