波莱尔-坎泰利引理

波莱尔－坎泰利引理是概率论中的一个基本结论。大致上，波莱尔－坎泰利引理说明了，如果有无穷个概率事件，它们发生的概率之和是有限的，那么其中的无限多个事件一同发生的概率是零。这个定理实际上是测度论的结论在概率论中的应用，得名于数学家埃米尔·波莱尔与弗朗西斯科·保罗·坎泰利。

概率空间中的定理

设${\displaystyle E_{n}}$为某个概率空间中的一个事件序列。波莱尔－坎泰利引理说明： 如果所有的事件${\displaystyle E_{n}}$发生的概率${\displaystyle \mathbb {P} }$的总和是有限的，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty ,}$

那么它们之中有无限多个同时发生的概率等于零：

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0\,}$

其中的${\displaystyle \limsup \,}$是指一个事件序列的上极限。由于每一个事件都是若干个可能结果的集合，所以${\displaystyle \limsup E_{n}\,}$就是指使得序列${\displaystyle E_{n}(\omega )}$里面有无限多个事件一起发生的结果（outcome，或称样本输出）${\displaystyle \omega }$的集合。准确来说，

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}}$。

证明

设(E_n)是某个概率空间里的一系列事件。假设这些事件发生的概率之和是有限的：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty }$。

这等价于说，正项无穷级数${\displaystyle \left(\mathbb {P} (E_{n})\right)_{n\geq 1}}$收敛。所以，根据无穷级数的性质，级数的余项${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})}$的下极限是0：

${\displaystyle \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0.\,}$

因此，

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\mathbb {P} \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0}$^[1]

推广

对于更一般的概率空间，波莱尔－坎泰利引理可以叙述如下：

设μ是一个集合X上的测度，装备了σ-代数F。设(A_n)为F中的一个序列。如果：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty }$

那么，

${\displaystyle \mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0\,}$

参考来源

1. Romik, Dan. Probability Theory Lecture Notes, Fall 2009, UC Davis. (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2010-06-14）.

• Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961.
• Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993.
• Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101.
• Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.