梅森数是形如2n-1的数(n是正整数),记为
;如果梅森数是素数就称梅森素数(英语:Mersenne prime)。
More information n ...
梅森预测表:n≤263
|
P : Mn是梅森素数 — : Mn是梅森合数 青色:显示正确 粉红色:显示错误
|
n
|
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19
|
Mn
|
P |
P |
P |
P |
— |
P |
P |
P
|
n
|
23 |
29 |
31 |
37 |
41 |
43 |
47 |
53
|
Mn
|
— |
— |
P |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
59 |
61 |
67 |
71 |
73 |
79 |
83 |
89
|
Mn
|
— |
P |
— |
— |
— |
— |
— |
P
|
n
|
97 |
101 |
103 |
107 |
109 |
113 |
127 |
131
|
Mn
|
— |
— |
— |
P |
— |
— |
P |
—
|
n
|
137 |
139 |
149 |
151 |
157 |
163 |
167 |
173
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
179 |
181 |
191 |
193 |
197 |
199 |
211 |
223
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
227 |
229 |
233 |
239 |
241 |
251 |
257 |
263
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—
|
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| 此条目 需要补充更多来源。 (2013年3月17日) |
梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名,他列出了n≤257的梅森素数,不过他错误包括了不是梅森素数的M67和M257,而遗漏了M61、M89和M107。
n为合数时,
一定为合数(当a整除b时,
一定整除
,反之亦然)。但n为素数时,
不一定皆为素数,如
和
是素数,但
不是素数。
截至2018年12月已知51个梅森素数,最大的是282589933-1[1]。从1997年至今,所有新的梅森素数都由互联网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现。
。
- q≡3mod4为素数。则2q+1是素数的充分必要条件是2q+1整除Mq ,因此对于这些素数q(除了3),Mq不可能会是素数,前几个这样的素数q为11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… (OEIS数列A002515)
- 拉马努金-南哥尔方程(Ramanujan–Nagell Equation):Mq=6+x2。当q为3、5和7时,Mq为梅森素数,方程有整数解;q为合数4和15时,方程亦有整数解;q为其它自然数时,方程没有整数解。
- 如果p是奇素数,任何能整除2p − 1的素数q都一定是2p的倍数加1,如211 − 1=23×89,而23=1+2×11,89=1+8×11。
- 如果p是奇素数,任何能整除2p − 1的素数q都一定与
同余。
下面的命题关注什么梅森数是梅森素数。
- 由
知:“q是素数”是“Mq是素数”的必要条件,但不是充分条件。M11=211 − 1=23×89是最小的反例。
- 对Mq(q是素数)有:
- 若a是Mq的因数,则a有如下性质:
- a ≡ 1 mod 2q
- a ≡ ±1 mod 8
- 形如6k+1的数有欧拉理论表明:当且仅当有数对(x,y)使Mq=(2x)2+3(3y)2,Mq是素数,其中q≥5。
- 最近,Bas jansen研究了等式Mq=x2+dy2(0≤d≤48),得出了d=3时的新证明方法。
- Reix发现q>3时,Mq可写成Mq=(8x)2-(3qy)2=(1+Sq)2-(Dq)2;显然,若有数对(x,y),Mq就是素数。
- Mn为素数当且仅当Mn整除Sn-2(S0=4,Sk=S2k−1 − 2,k>0),此数列为4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…(OEIS数列A003010)
- 梅森素数与偶完全数有一一对应的关系,称为欧几里得-欧拉定理。
- 前4世纪,欧几里得(Euclid)证明如果M是梅森素数,则
是完全数。
- 18世纪,欧拉(Euler)证明所有偶完全数都有这种形式。
- 头四个梅森素数M2、M3、M5、M7在古代已知。
- 第五个梅森素数M13在1461年之前发现;
- M17和M19两数随后在1588年由Cataldi发现。
- 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数,其中错误包括了不是素数的M67和M257,遗漏了M61、M89和M107。这也是“梅森素数”一名的由来。
- 一个多世纪后的1750年,才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。
- 下个发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127;
- 1883年,Pervushin证实M61。
- M89和M107在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现。
- 发明电子计算机改革了梅森素数的寻找过程。第一项成功例子是证明M521,它由莱默指导,用拉斐尔·米切尔·罗宾逊教授编写的软件,利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的,属于美国国家标准局的西部自动计算机(SWAC)于1952年1月30日晚上10:00获得,并且在随后不到两小时发现下个梅森素数M607。在随后的几个月里,使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279、M2203和M2281。
- 素数P值增大,搜寻梅森素数MP的过程都艰辛无比,但各国科学家及业余研究者仍乐此不疲,激烈竞争;1979年2月23日,当美国克雷研究公司的计算机专家史洛温斯基和纳尔逊宣布找到第26个梅森素数M23209时才知诺尔在两星期前已得到这结果。
- 为此,史洛温斯基潜心发愤,花了一个半月用CRAY-1型计算机找到新梅森素数M44497,这纪录成了当时不少美国报纸的头版新闻。
- 他之后乘胜前进,使用改进了的CRAY-XMP型计算机在1983年至1985年间找到3个梅森素数M86243、M132049和M216091,但未能确定M86243和M216091之间是否有异于M132049的梅森素数。而到了1988年,科尔魁特和韦尔什使用NEC-FX2型超高速并行计算机果然捉到“漏网之鱼”M110503。
- 沉寂4年后,1992年3月25日,英国原子能技术权威机构哈威尔实验室有研究小组宣布找到梅森素数M756839。
- 1994年1月14日,史洛温斯基和盖奇为其公司再次夺回发现“已知最大素数”的桂冠——M859433;而下个梅森素数M1257787仍是他们的成果,用CRAY-794超级计算机在1996年找到。
- 到2018年12月已知51个梅森素数;现在已知最大的素数是梅森素数M82589933,像前几个一样都是由因特网梅森素数大搜索(GIMPS)分布式计算项目发现。
- 2010年7月11日GIMPS确认M2099万6011是第40个梅森素数。[2]
- 2011年12月1日GIMPS确认M2403万6583是第41个梅森素数。[2]
- 2012年12月20日GIMPS确认M2596万4951是第42个梅森素数。[2]
- 2013年1月25日GIMPS发现M5788万5161[2]
- 2014年2月23日GIMPS确认M3040万2457是第43个梅森素数。[2]
- 2014年11月8日GIMPS确认M3258万2657是第44个梅森素数。[2]
- 2016年1月7日GIMPS发现M7420万7281[2]
- 2018年1月3日GIMPS发现的M7723万2917有23249425位数[3]。
- 2018年12月7日GIMPS的M8258万9933有24862048位数[1]。
古代知道的梅森素数
以试除法发现的梅森素数
梅森遗漏的梅森素数
GIMPS发现的梅森素数
拉斐尔·米切尔·罗宾逊发现的梅森素数
亚历山大·赫维兹发现的梅森素数
Donald B. Gillies发现的梅森素数
Walt Colquitt和Luke Welsh发现的梅森素数
下表列出所有已知的梅森素数:
A000668
More information 序, n ...
序
|
n
|
Mn
|
Mn的位数
|
发现日期
|
发现者
|
算法
|
1
|
2
|
3
|
1
|
公元前5世纪
|
古希腊数学家
|
|
2
|
3
|
7
|
1
|
公元前5世纪
|
古希腊数学家
|
|
3
|
5
|
31
|
2
|
公元前3世纪
|
古希腊数学家
|
|
4
|
7
|
127
|
3
|
公元前3世纪
|
古希腊数学家
|
|
5
|
13
|
8191
|
4
|
1456年
|
无名氏
|
试除法
|
6
|
17
|
131071
|
6
|
1588年
|
彼得罗·卡塔尔迪
|
试除法
|
7
|
19
|
524287
|
6
|
1588年
|
彼得罗·卡塔尔迪
|
试除法
|
8
|
31
|
2147483647
|
10
|
1772年
|
莱昂哈德·欧拉
|
优化的试除法
|
9
|
61
|
2305843009213693951
|
19
|
1883年
|
伊万·波佛辛
|
卢卡斯数列
|
10
|
89
|
618970019642690137449562111
|
27
|
1911年
|
拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯
|
卢卡斯数列
|
11
|
107
|
162259276829213363391578010288127
|
33
|
1914年
|
拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯
|
卢卡斯数列
|
12
|
127
|
170141183460469231731687303715884105727
|
39
|
1876年
|
爱德华·卢卡斯
|
卢卡斯数列
|
13
|
521
|
686479766013…291115057151
|
157
|
1952年1月30日
|
拉斐尔·米切尔·罗宾逊
|
卢卡斯-莱默检验法
|
14
|
607
|
531137992816…219031728127
|
183
|
1952年1月30日
|
拉斐尔·米切尔·罗宾逊
|
卢卡斯-莱默检验法
|
15
|
1279
|
104079321946…703168729087
|
386
|
1952年6月25日
|
拉斐尔·米切尔·罗宾逊
|
卢卡斯-莱默检验法
|
16
|
2203
|
147597991521…686697771007
|
664
|
1952年10月7日
|
拉斐尔·米切尔·罗宾逊
|
卢卡斯-莱默检验法
|
17
|
2281
|
446087557183…418132836351
|
687
|
1952年10月9日
|
拉斐尔·米切尔·罗宾逊
|
卢卡斯-莱默检验法
|
18
|
3217
|
259117086013…362909315071
|
969
|
1957年9月8日
|
Hans Riesel
|
卢卡斯-莱默检验法
|
19
|
4253
|
190797007524…815350484991
|
1281
|
1961年11月3日
|
亚历山大·赫维兹
|
卢卡斯-莱默检验法
|
20
|
4423
|
285542542228…902608580607
|
1332
|
1961年11月3日
|
亚历山大·赫维兹
|
卢卡斯-莱默检验法
|
21
|
9689
|
478220278805…826225754111
|
2917
|
1963年5月11日
|
Donald B. Gillies
|
卢卡斯-莱默检验法
|
22
|
9941
|
346088282490…883789463551
|
2993
|
1963年5月16日
|
Donald B. Gillies
|
卢卡斯-莱默检验法
|
23
|
1万1213
|
281411201369…087696392191
|
3376
|
1963年6月2日
|
Donald B. Gillies
|
卢卡斯-莱默检验法
|
24
|
1万9937
|
431542479738…030968041471
|
6002
|
1971年3月4日
|
布莱恩特·塔克曼
|
卢卡斯-莱默检验法
|
25
|
2万1701
|
448679166119…353511882751
|
6533
|
1978年10月30日
|
Landon Curt Noll & Laura Nickel
|
卢卡斯-莱默检验法
|
26
|
2万3209
|
402874115778…523779264511
|
6987
|
1979年2月9日
|
Landon Curt Noll
|
卢卡斯-莱默检验法
|
27
|
4万4497
|
854509824303…961011228671
|
1万3395
|
1979年4月8日
|
Harry Nelson & David Slowinski
|
卢卡斯-莱默检验法
|
28
|
8万6243
|
536927995502…209433438207
|
2万5962
|
1982年9月25日
|
David Slowinski
|
卢卡斯-莱默检验法
|
29
|
11万0503
|
521928313341…083465515007
|
3万3265
|
1988年1月28日
|
Walt Colquitt & Luke Welsh
|
卢卡斯-莱默检验法
|
30
|
13万2049
|
512740276269…455730061311
|
3万9751
|
1983年9月20日
|
David Slowinski
|
卢卡斯-莱默检验法
|
31
|
21万6091
|
746093103064…103815528447
|
6万5050
|
1985年9月6日
|
David Slowinski
|
卢卡斯-莱默检验法
|
32
|
75万6839
|
174135906820…328544677887
|
22万7832
|
1992年2月19日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
卢卡斯-莱默检验法
|
33
|
85万9433
|
129498125604…243500142591
|
25万8716
|
1994年1月10日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
卢卡斯-莱默检验法
|
34
|
125万7787
|
412245773621…976089366527
|
37万8632
|
1996年9月3日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
卢卡斯-莱默检验法
|
35
|
139万8269
|
814717564412…868451315711
|
42万0921
|
1996年11月13日
|
GIMPS/Joel Armengaud
|
卢卡斯-莱默检验法
|
36
|
297万6221
|
623340076248…743729201151
|
89万5932
|
1997年8月24日
|
GIMPS/Gordon Spence
|
卢卡斯-莱默检验法
|
37
|
302万1377
|
127411683030…973024694271
|
90万9526
|
1998年1月27日
|
GIMPS/Roland Clarkson
|
卢卡斯-莱默检验法
|
38
|
697万2593
|
437075744127…142924193791
|
209万8960
|
1999年6月1日
|
GIMPS/Nayan Hajratwala
|
卢卡斯-莱默检验法
|
39
|
1346万6917
|
924947738006…470256259071
|
405万3946
|
2001年11月14日
|
GIMPS/Michael Cameron
|
卢卡斯-莱默检验法
|
40
|
2099万6011
|
125976895450…762855682047
|
632万0430
|
2003年11月17日
|
GIMPS/Michael Shafer
|
卢卡斯-莱默检验法
|
41
|
2403万6583
|
299410429404…882733969407
|
723万5733
|
2004年5月15日
|
GIMPS/Josh Findley
|
卢卡斯-莱默检验法
|
42
|
2596万4951
|
122164630061…280577077247
|
781万6230
|
2005年2月18日
|
GIMPS/Martin Nowak
|
卢卡斯-莱默检验法
|
43
|
3040万2457
|
315416475618…411652943871
|
915万2052
|
2005年12月15日
|
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
|
卢卡斯-莱默检验法
|
44
|
3258万2657
|
124575026015…154053967871
|
980万8358
|
2006年9月4日
|
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
|
卢卡斯-莱默检验法
|
45
|
3715万6667
|
202254406890…022308220927
|
1118万5272
|
2008年9月6日
|
GIMPS/Hans-Michael Elvenich
|
卢卡斯-莱默检验法
|
46
|
4264万3801
|
169873516452…765562314751
|
1283万7064
|
2009年4月12日[注 1]
|
GIMPS/Odd M. Strindmo
|
卢卡斯-莱默检验法
|
47
|
4311万2609
|
316470269330…166697152511
|
1297万8189
|
2008年8月23日
|
GIMPS/Edson Smith
|
卢卡斯-莱默检验法
|
48
|
5788万5161
|
581887266232…071724285951
|
1742万5170
|
2013年1月25日
|
GIMPS/Curtis Cooper
|
卢卡斯-莱默检验法
|
49*
|
7420万7281
|
300376418084…391086436351
|
2233万8618
|
2015年9月17日[注 2]
|
GIMPS/Curtis Cooper
|
卢卡斯-莱默检验法
|
50*
|
7723万2917
|
467333183359…069762179071
|
2324万9425
|
2017年12月26日
|
GIMPS/Jon Pace
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卢卡斯-莱默检验法
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51*
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8258万9933
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148894445742…325217902591
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2486万2048
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2018年12月7日
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GIMPS/Patrick Laroche
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卢卡斯-莱默检验法
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注:现在还不知道第48个梅森素数(M57885161)和第51个(M82589933)间是否还有未知梅森素数,其序号用*标出,如有会通知递补。