格罗斯–皮塔耶夫斯基方程(Gross–Pitaevskii 方程,以尤金·格罗斯命名[1]与列夫·皮塔耶夫斯基[2]) 描述了全同玻色子量子体系的基态,其中使用了哈特里-福克近似与赝势相互作用模型。
在哈特里-福克近似中,
个玻色子体系的总波函数
为单粒子波函数
之积
![{\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\psi (\mathbf {r} _{1})\psi (\mathbf {r} _{2})\dots \psi (\mathbf {r} _{N})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7c4acdbc60acc0dc3a5bfbb9d311dbf230cda2)
其中
为第
个玻色子的坐标。
赝势模型下的哈密顿量为
![{\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial \mathbf {r} _{i}^{2}}+V(\mathbf {r} _{i})\right)+\sum _{i<j}{4\pi \hbar ^{2}a_{s} \over m}\delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e40763733a8df565b78fbc70f865b0b4dbbb61)
其中
为玻色子质量,
为外势场,
为玻色子-玻色子散射长度,
为狄拉克δ函数。
如果单粒子波函数满足格罗斯–皮塔耶夫斯基方程,
![{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\partial ^{2} \over \partial \mathbf {r} ^{2}}+V(\mathbf {r} )+{4\pi \hbar ^{2}a_{s} \over m}\vert \psi (\mathbf {r} )\vert ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} )=\mu \psi (\mathbf {r} ),}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1eb8ffd46aaf4122627974a5132678b4ee5c3af)
则总波函数在归一化条件
下可以使赝势模型哈密顿量的总能量最小。
格罗斯–皮塔耶夫斯基方程是描述玻色-爱因斯坦凝聚单粒子波函数的模型方程。它有类似金兹堡-朗道方程的形式,也会被称为非线性薛定谔方程.
玻色-爱因斯坦凝聚(BEC) 是处于同一量子态的玻色气体可以由同一个波函数进行描述。单个粒子可有单粒子波函数描述。真实气体中粒子相互作用包含在相应的多体薛定谔方程当中。当气体中粒子间距大于散射长度(即所谓的稀薄极限)时,真实的相互作用势就可以被替换为赝势。格罗斯–皮塔耶夫斯基方程的非线性来源于粒子间的相互作用。当把方程中相互作用的耦合常数设为零时,非线性消失,方程以描述单粒子在势阱中的单粒子薛定谔方程的形式出现。