根轴

根轴（英语：radical axis）是由两个圆唯一确定的，与两圆连心线垂直的直线，其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹。

性质

几何形状及其位置的确定

令向量${\displaystyle {\vec {x}}}$、${\displaystyle {\vec {m}}_{1}}$、${\displaystyle {\vec {m}}_{2}}$分别为根轴上的点 ${\displaystyle P}$、两圆圆心${\displaystyle M_{1}}$、${\displaystyle M_{2}}$的位置。则根轴的“曲线”方程为：

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},}$

即

${\displaystyle 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle d_{1},d_{2}}$的定义和计算

从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因${\displaystyle {\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}$内积大小仅由${\displaystyle x}$在${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$方向的分量决定，所以根轴是一条垂直于连心线的直线。

根轴在连心线上的垂足${\displaystyle L}$与圆心${\displaystyle M_{1}}$、${\displaystyle M_{2}}$的距离${\displaystyle d_{1}}$、${\displaystyle d_{2}}$分别满足
${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,
其中 ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$.

如果两圆相交，则根轴为它们交点的连线；如果两圆相切，则根轴为它们的公切线^[1]:27。

根心

定义

三个圆能画出三条根轴，这三条根轴交于一点，称为三个圆的根心，若三个圆的圆心共线，则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点^[1]:27。

存在性的证明

考虑三圆${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{2}}$、${\displaystyle Q_{3}}$两两构成的三条根轴。令${\displaystyle P}$为${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{2}}$根轴以及${\displaystyle Q_{1}}$、${\displaystyle Q_{3}}$根轴的交点。有

${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)}$，${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)}$，

其中${\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)}$表示点${\displaystyle P}$关于圆${\displaystyle Q_{i}}$的幂。

则知点${\displaystyle P}$关于${\displaystyle Q_{2}}$和${\displaystyle Q_{3}}$的圆幂都相等，因此它在第三条根轴上，换言之，三条根轴共点，存在根心。

参考资料

1. Chen, Evan. 2.3 The Radical Axis and Radical Center (PDF). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 26–30 [2023-01-23]. ISBN 978-1-61444-411-4. MR 3467691. （原始内容存档 (PDF)于2023-01-23）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Radical Line. MathWorld.