最小上界性

数学中，最小上界性（亦称上确界性，英语：least-upper bound property, LUB）^[1] 是实数集和其他一些有序集的基础属性，与实数的完备性等价^[2] 。 集合X具有最小上界性当且仅当X的任意具有上界的非空子集有最小上界 (上确界)。

任意的有界非空实数集都有一个最小上界。

性质概述

实数

令${\displaystyle S}$为实数集的一个非空子集。

• 如果实数${\displaystyle x}$大于或等于所有${\displaystyle S}$中的元素，则${\displaystyle x}$称为${\displaystyle S}$的上界。
• 如果实数${\displaystyle x}$是${\displaystyle S}$的上界，并且${\displaystyle x}$小于或等于所有${\displaystyle S}$的上界，则${\displaystyle x}$称为${\displaystyle S}$的最小上界。

最小上界性的表述为

所有具有上界的非空实数集都有最小上界，且最小上界为实数。

一般序集合

对任意偏序集合${\displaystyle X}$，我们都可以定义${\displaystyle X}$的子集的上界和最小上界，只需把前一段落的“实数”改为“${\displaystyle X}$的元素”即可。

此处最小上界性的表述为

所有具有上界的${\displaystyle X}$的非空子集都有最小上界${\displaystyle x}$，并满足${\displaystyle x\in X}$。

有理数集并没有最小上界性，考虑其子集

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}=\mathbb {Q} \cap (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})}$

它有在有理数集中的上界（例如2），但它的最小上界${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不在有理数集中。

证明

应用

最小上界性可以用来证明许多实分析中的主要定理

中间值定理

波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

极值定理

海涅-博雷尔定理

参考文献

1. Bartle and Sherbert (2011) define the "completeness property" and say that it is also called the "supremum property". (p. 39)
2. Willard says that an ordered space "X is Dedekind complete if every subset of X having an upper bound has a least upper bound." (pp. 124-5, Problem 17E.)