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拓扑学
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在数学里,拓扑学(英语:Topology)也可写成拓朴学[1],或意译为位相几何学,是一门研究拓扑空间的学科,主要研究空间内,在连续变化[注 1]下维持不变的性质。在拓扑学里,重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。
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拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科,研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼兹,他在17世纪提出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)的说法。莱昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。“拓扑学”一词由利斯廷于19世纪提出,虽然直到20世纪初,拓扑空间的概念才开始发展起来。到了20世纪中叶,拓扑学已成为数学的一大分支。
拓扑学有许多子领域:
- 一般拓扑学建立拓扑的基础,并研究拓扑空间的性质,以及与拓扑空间相关的概念。一般拓扑学亦被称为点集拓扑学,被用于其他数学领域(如紧致性与连通性等主题)之中。
- 代数拓扑学运用同调与同伦群等代数结构量测连通性的程度。
- 微分拓扑学研究在微分流形上的可微函数,与微分几何密切相关,并一齐组成微分流形的几何理论。
- 几何拓扑学主要研究流形与其对其他流形的嵌入。几何拓扑学中一个特别活跃的领域为“低维拓扑学”,研究四维以下的流形。几何拓扑学亦包括“纽结理论”,研究数学上的纽结。
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