戴德金群

戴德金群（Dedekind group）指的是一类所有的子群都是正规子群的群，所有的交换群都是戴德金群，非交换的戴德金群又称汉弥尔顿群（Hamiltonian group）。^[1]

阶数最小的汉弥尔顿群是四元群，四元群具有八个元素，一般记做${\displaystyle Q_{8}}$。戴德金和贝尔（Reinhold Baer）证明说所有的汉弥尔顿群${\displaystyle H}$都是${\displaystyle H=Q_{8}\times B\times D}$的直积，其中${\displaystyle B}$是二阶初等阿贝尔群，而${\displaystyle D}$则是周期性交换群，且${\displaystyle D}$所有元素的阶数皆是奇数。

戴德金群以理查德·戴德金，戴德金曾在1897年的一篇文章中研究这类的群，并为有限群提供了上述的结构理论，他并以四元数的发现者威廉·哈密顿爵士之名来命名非交换的戴德金群。

在1898年，乔治·米勒（George Abram Miller）描述了汉弥尔顿群及其子群的阶的结构，像例如他发现说若一个汉弥尔顿群的阶数为${\displaystyle 2^{n}}$，那这个群会有一个阶数为${\displaystyle 2^{n}-6}$的四元数子群；在2005年，霍瓦特氏（Horvat）等人^[2]利用这样的结构来计算阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$的汉弥尔顿群的数量，其中${\displaystyle a}$是一个奇数。在${\displaystyle n<3}$的时候，没有汉弥尔顿群的阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$，对于其他的${\displaystyle n}$，阶数为${\displaystyle 2^{n}a}$的汉弥尔顿群的个数，和阶数为${\displaystyle a}$的交换群一样多。

注解

1. Hall. The theory of groups. 1999: 190 [2020-12-06]. （原始内容存档于2013-06-21）.
2. Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž. On the Number of Hamiltonian Groups. 2005-03-09. arXiv:math/0503183 .

参考资料

• Dedekind, Richard, Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen, 1897, 48 (4): 548–561 [2020-12-06], ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, doi:10.1007/BF01447922, （原始内容存档于2016-03-03）.
• Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12–17, 1933.
• Hall, Marshall, The theory of groups, AMS Bookstore: 190, 1999, ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž, On the number of Hamiltonian groups, Mathematical Communications, 2005, 10 (1): 89–94, Bibcode:2005math......3183H, arXiv:math/0503183 .
• Miller, G. A., On the Hamilton groups, Bulletin of the American Mathematical Society, 1898, 4 (10): 510–515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3.
• Taussky, Olga, Sums of squares, American Mathematical Monthly, 1970, 77 (8): 805–830, JSTOR 2317016, MR 0268121, doi:10.2307/2317016, hdl:10338.dmlcz/120593.