在相对论 中,快度 通常被用来衡量相对论效应下的速度。在数学上,快度可以被定义成一个双曲角 ,这个角能够反映两个存在相对运动的参考坐标系之间的差异——它们的时空坐标为洛仑兹变换所联系。
对于一维运动,快度可以简单相加,而速度必须套用爱因斯坦的速度加成式 。在低速的情况下,快度和速度是成比例的,但是对于更高速的状况下,快度将增长得更快。特别地,光的速度为光速,而光的快度是无限大。
我们使用反双曲函数artanh 来定义快度,当速度为v 时,其对应的快度w 是w = artanh(v / c ) ,其中c 是光速。速度较慢时,w 约为v / c 。由于在相对论中,速度v被局限于区间−c < v < c ,因此比率v / c 将满足−1 < v / c < 1 。反双曲正切函数的定义域 为(−1, 1) ,而值域 为整条实数线 ,所以可以将区间−c < v < c 映射到−∞ < w < ∞ 。
在1908年赫尔曼·闵可夫斯基 指出劳伦兹变换 可以被简单的变换为坐标时 中的双曲旋转 ,即为一个虚数角度的旋转。[ 1] 这个角度在一维空间中可以代表着坐标系间速度的度量,且具有可加性。[ 2]
1910年,弗拉基米尔·瓦里卡克 [ 3] 和E. T. 惠特克 [ 4] 提出用此参数来取代速度的观念。而这个参数被阿尔弗雷德·罗伯 (1911)[ 5] 命名为快度,并随后被许多笔者所采用,如卢迪威格·席柏斯坦 (1914),爱德华·莫立 (1936)和沃尔夫冈·润德勒 (2001)。
快度w 出现在劳伦兹变换 的线性表示法中,此时劳伦兹变换被表示为向量-矩阵乘积
(
c
t
′
x
′
)
=
(
cosh
w
−
sinh
w
−
sinh
w
cosh
w
)
(
c
t
x
)
=
Λ
(
w
)
(
c
t
x
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}
矩阵Λ (w ) 为
(
p
q
q
p
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}
的形式,其中p 和q 满足关系p 2 - q 2 = 1 ,因此(p , q ) 将会落在单位双曲线 上。这样的矩阵形成了不定正交群 O(1,1) ,伴随着由单位反对角矩阵所张出的一维李代数,显示出快度是这个李代数上的坐标,这个作用可在闵可夫斯基图 上被描绘出来。
在矩阵指数 表示法中,Λ (w ) 可以被表示为
Λ
(
w
)
=
e
Z
w
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}
,其中Z 是矩阵
Z
=
(
0
−
1
−
1
0
)
{\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}}
不难证明
Λ
(
w
1
+
w
2
)
=
Λ
(
w
1
)
Λ
(
w
2
)
{\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}
这显现出了快度实用的求和性质:若A ,B 和 C 为参考坐标系 ,则
w
AC
=
w
AB
+
w
BC
{\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}
其中 w PQ 表示了参考坐标系Q 相对于参考坐标系P 的快度。与速度加成式 相比,这个式子更为简洁。
我们可以从上述的劳伦兹变换看出,劳伦兹因子 等同于cosh w
γ
=
1
1
−
v
2
/
c
2
≡
cosh
w
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}
因此快度w 作为一个双曲角,隐含在劳伦兹变换 中的γ 和β 中。我们将快度与速度加成式 联系在一起
u
=
(
u
1
+
u
2
)
/
(
1
+
u
1
u
2
/
c
2
)
{\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})}
借由
β
i
=
u
i
c
=
tanh
w
i
{\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}
从而得到
tanh
w
=
tanh
w
1
+
tanh
w
2
1
+
tanh
w
1
tanh
w
2
=
tanh
(
w
1
+
w
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}
β 和γ 的乘积时常出现,从先前的讨论可知
β
γ
=
sinh
w
{\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,}
固有加速度 (一个加速物体实质感受到的加速度)是快度对于固有时间 (一个加速物体本身所量测到的时间)的变化率。假想在物体的运动过程中,与加速中的物体保持相对静止的一系列“非物理的”参考系,若在这个非物理的惯性系中非相对论性地计算物体的速度,则计算结果将是这个物体的快度。
由上述的表达式可以得到
e
w
=
γ
(
1
+
β
)
=
γ
(
1
+
v
c
)
=
1
+
v
c
1
−
v
c
{\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}}
因此
e
−
w
=
γ
(
1
−
β
)
=
γ
(
1
−
v
c
)
=
1
−
v
c
1
+
v
c
{\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}}
或是更加清楚地表示为
w
=
ln
[
γ
(
1
+
β
)
]
=
−
ln
[
γ
(
1
−
β
)
]
{\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,}
相对论性都普勒效应 因子与快度w 的关系为
k
=
e
w
{\displaystyle k=e^{w}}
。
相对论性速度
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
与快度
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
为下列关系所联系[ 6]
s
o
(
3
,
1
)
⊃
s
p
a
n
{
K
1
,
K
2
,
K
3
}
≈
R
3
∋
w
=
β
^
tanh
−
1
β
,
β
∈
B
3
,
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}
其中的向量
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
是洛伦兹群 对应的李代数
o
(
3
,
1
)
≈
s
o
(
3
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}
中,由三个推进生成元
K
1
,
K
2
,
K
3
{\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}
张成的三维线性子空间上的坐标。而这可以完全类比至上述一维情况时的
o
(
1
,
1
)
{\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}
。因为光速
c
{\displaystyle c}
是速度量值的上限(选用单位使得
c
=
1
{\displaystyle c=1}
),所以速度符合条件
|
β
|
<
1
{\displaystyle |\beta |<1}
,因此速度空间可以用一个半径为
1
{\displaystyle 1}
的开球
B
3
{\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}
表示。
一般性的快度求和公式为[ 7] [ nb 1]
w
=
β
^
tanh
−
1
β
,
β
=
β
1
⊕
β
2
,
{\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}
其中
β
1
⊕
β
2
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}
对应到速度加成式 ,
β
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}
是
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
方向上的单位向量。这个运算不符合交换律与结合律。斜向角度为
θ
{\displaystyle \theta }
的快度
w
1
,
w
2
{\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}
之和的模
w
≡
|
w
|
{\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}
(欧氏空间中的长度)由余弦的双曲关系 给出[ 8]
cosh
w
=
cosh
w
1
cosh
w
2
+
sinh
w
1
sinh
w
2
cos
θ
{\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta }
快度空间上的几何结构,透过对应的映射继承了速度空间上的双曲几何 。相应地,这个几何结构可以从相对论性速度的求和公式来推得。[ 9] 因此,二维空间中的快度空间可以有效地透过庞加莱圆盘模型 来想像[ 7] ,其上的测地线会对应到匀加速运动。三维空间中的快度空间,可以透过同样的方法,与双曲面模型建立保距同构 。闵可夫斯基时空的几何 条目中有更多相关的细节。
两个快度的相加变换并非只是获得一个新的快度值,整体的变换是由上述求和式给出的快度、透过向量
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
来参数化的旋转,两者组合而成。
Λ
=
e
−
i
θ
⋅
J
e
−
i
w
⋅
K
{\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }}
这里使用到了物理学家惯用的指数映射。
这是交换法则所致的结果
[
K
i
,
K
j
]
=
−
i
ϵ
i
j
k
J
k
{\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}}
其中
J
k
{\displaystyle J_{k}}
是旋转群 的生成元,
(
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle (k=1,2,3)}
,这与汤玛斯进动 现象有关。连结中的文章有关于参数
θ
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}
的计算方法。
一个非零(静止)质量m 粒子的能量E 以及动量的大小|p | 为:
E
=
γ
m
c
2
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}}
|
p
|
=
γ
m
v
{\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv}
透过快度w 的定义
w
=
artanh
v
c
{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}}
并且
cosh
w
=
cosh
(
artanh
v
c
)
=
1
1
−
v
2
c
2
=
γ
{\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }
sinh
w
=
sinh
(
artanh
v
c
)
=
v
c
1
−
v
2
c
2
=
β
γ
{\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma }
能量和动量大小可以被表示为
E
=
m
c
2
cosh
w
{\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}
|
p
|
=
m
c
sinh
w
{\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w}
所以快度可以用测量到的能量与动量大小透过下式来计算得出:
w
=
artanh
|
p
|
c
E
=
1
2
ln
E
+
|
p
|
c
E
−
|
p
|
c
{\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}}
然而实验粒子物理学家常使用修改过的、相对于粒子束的快度定义
y
=
1
2
ln
E
+
p
z
c
E
−
p
z
c
{\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}}
其中p z 是沿着粒子束方向的动量分量[ 10] 。这是从“实验室参考系”到一个“粒子运动方向与粒子束方向垂直的参考系”的劳伦兹变换所对应的快度,相关的概念可以参考条目赝快度 。
这可以被理解成,欲求给定两个速度所对应到的快度和,实际上就是在对原速度作相对论性的求和,再求出该速度对应的快度。此外,快度从
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
上也继承了三维向量加法的求和性质,这是与上述快度和不同的一种和。在下文提到“快度求和”时,请依照上下文判断是哪一种求和。
阿尔弗雷德·罗伯 (1911) Optical Geometry of Motion p.9
Robb 1910, Varićak 1910,Borel 1913
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