微分
對函數的局部變化率的線性描述 / 维基百科,自由的 encyclopedia
函数的微分(英语:Differential of a function)是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。
微分在数学中的定义:由是的函数()。从简单的平面直角坐标系来看,自变量的变化量趋近于0时(),因变量的变化量也趋近于0,但和的变化量都趋近于0。当有极小的变化量时,这称为的微分。
当某些函数的自变量有一个微小的改变时,函数的变化可以分解为两个部分。
一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量,可以表示成和一个与无关,只与函数及有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在上的值。
另一部分是比更高阶的无穷小,也就是说除以后仍然会趋于零。当改变量很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在处的微分,记作或。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。
不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。
在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在,就一定是唯一的。