张量
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张量(英语:Tensor)在数学中是一个代数对象,描述了与矢量空间相关的代数对象集之间的多重线性映射。张量可以作为不同的对象之间的映射,例如矢量、标量,甚至其他张量。张量有很多种类型,包括标量和矢量、对偶矢量、矢量空间之间的多重线性映射,甚至还有一些运算,例如点积。张量的定义独立于任何基,尽管它们通常由与特定坐标系相关的基中的分量来表示;这些分量形成一个数组,可以将其视为高维矩阵。维空间上的
阶张量有
个分量,
也称为该张量的秩(与矩阵的秩和阶均无关系)。
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在同构的意义下,第零阶张量()为标量,第一阶张量(
)为矢量, 第二阶张量(
)则成为矩阵。例如,对于3维空间,
时的张量为此矢量:
。张量不仅仅是由一定数量的分量组成的数组,在坐标变换时,张量的分量也依照某些规则作线性变换。由于变换方式的不同,张量分成“协变张量”(指标在下者)、“逆变张量”(指标在上者)、“混合张量”(指标在上和指标在下两者都有)三类。张量的抽象理论是线性代数分支,现在叫做多重线性代数。
张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中,表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。工程上的例子有应力张量和应变张量,它们都是二阶张量,对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。
张量在物理学中提供了一个简明的数学框架用来描述和解决力学(应力、弹性、流体力学、惯性矩等)、电动力学(电磁张量、麦克斯韦张量、介电常数、磁化率等)、广义相对论(应力-能量张量、曲率张量等)物理问题。在应用中,数学家通常会研究在物体的不同点之间的张量变化。例如,一个物体内的应力可能因位置不同而改变。这就引出了张量场的概念。在某些领域,张量场十分普遍以至于它们通常被简称为“张量”。