在几何学中,对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点,并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说,其中的一个角是另一个的对顶角。
相交直线产生的对顶角
对顶角满足下列定理:两直线相交,对顶角相等。
用数学语言描述就是(如右图):
- 设直线AD、BC交于点O。则形成四个角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互为对顶角,∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。
古希腊数学家泰勒斯。
泰勒斯生于希腊,是一位擅长于几何学的数学家及哲学家。他一生发现了多个几何学定理,包括等腰三角形中的“等边对等角”定理,也包括对顶角定理。
设直线AD、BC交于点O,那么,∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,
![{\displaystyle \angle AOB+\angle AOC=\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074cd7eab65d326920eafd209a35e037181488f)
其中
是一个平角的弧度数。
类似地,∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质,
![{\displaystyle \angle COD+\angle AOC=\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e1c493e9627e265571a09a7eebacf99ee99c1e)
因此,
两边减去相同的角度
后,就得到
。
同样地,可以证明
。
一对全等三角形。
对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子:
如右图,已知AB=CD,∠BAE=∠CDE。求证:
。
证明:在△ABE与△DCE中,
![{\displaystyle {\begin{cases}\angle BAE=\angle CDE\\\angle AEB=\angle CED\\AB=DC\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635e61d27257f9188d3e20245605e9cc85d6f139)
因此,
。
在以上证明中,∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意,在一般的几何证明中,对顶角定理并不需要显式地叙述出来,可以当作是默认的条件。