在最优化理论中的对偶(duality)或对偶性原则(duality principle)是指最佳化问题可以用两种观点来看待的理论,两种观点分别是“原始问题”(primal problem)及“对偶问题”(dual problem)。对偶问题的解提供了原始问题(假设是最小化问题)的下限[1],不过一般而言,原始问题和对偶问题的最佳解不相同。两个最佳解的差距为对偶间隙。若是凸优化问题,对偶间隙也称为是卡鲁什-库恩-塔克条件。
一般而言“对偶问题”是指“拉格朗日对偶问题”(Lagrangian dual problem),不过也有其他的对偶问题,例如Wolfe对偶问题和Fenchel对偶问题。拉格朗日对偶问题是指在最小化问题上加上拉格朗日乘数,也就是在目标函数上加上对应限制条件的非负拉格朗日乘数,再求解可将原目标函数最小的原始变数值。此解会得到以拉格朗日乘数的函数表示的原始变数,称为是“对偶变数”(dual variables),因此,新的问题就是要衍生对偶变数的限制下(包括非负的限制条件),找到可以使目标函数最大化的对偶变数。
一般而言,给定二个对偶对的分隔局部凸空间
及
,以及函数
,可以定义原始问题为找到
使得
换句话说,若
存在,
是函数
的最小极值(minimum),也可以得到函数的最大下界(infimum)。
若有限制条件,可以整合到函数
中,方式是令
,其中
是在
上的适当函数,在限制条件上有最小值0,可以证明
。后者的条件很明显,但不一定很方便可以符合示性函数(也就是说,满足限制条件的
,
,在其他情形,
)。因此可以将
延伸为扰动函数
使得
[2]。
对偶间隙就是不等式
![{\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115fc495ac22e8a3258ff73250f540035adbe91a)
左侧和右侧的差。
其中
是二个变数的凸共轭,而
是上确界[2][3][4]
线性规划问题是指损失函数和约束都是线性关系的最优化问题。原始问题中,目标函数是n个变数的线性组合,问题有m个约束,每一个都有上限,上限由n个变数的线性组合表示。其目的是要在满足限制条件的情形下,最大化目标函数的值。其解是由n个值表示的向量,可以让目标函数有最大值。
在对偶问题中,目标函数是m个值的线性组合,这些是原始问题中m个限制条件的上下限。有n个对偶限制条件,每一个的下限都是由m个对偶变数的线性组合所表示。
针对线性的最佳化问题,在原始问题中每一个符合限制条件的次佳点,都有一个方向(或方向的子空间),可以往目标函数增加的方向移动。若往这类的方向移动,称为除去候选解和一个或多个限制之间的松弛量(slack)。候选解中不可行的值即为超过一个或多个限制的值。
在对偶问题中,会将对偶向量和限制条件相乘,这些限制条件会决定原始问题中限制条件的位置。在对偶问题中变动对偶向量类似在原始问题中调整上限。要找到最小的上限。也就是说,要将对偶向量最小化,以移除限制的候选位置和实际最佳解之间的松弛量(slack)。对偶向量中的不可行值是指哪些太低的值。这会让候选解的一个或多个限制条件落在排除实际最佳解的位置。
在线性规划中探讨对偶性的方程式中,会对上述直觉有型式化的叙述。
非线性规划中的限制条件不一定是线性的,不过许多线性规划的原则还是适用。
为了确保可以简单的识别非线性规划中的全域最大值,问题一般会要求函数要是凸函数,而且有紧致的lower level sets。
由此可以看出卡鲁什-库恩-塔克条件的重要性。卡鲁什-库恩-塔克条件可以提供非线性规划问题中识别局部最佳值的必要条件。也有一些额外的必要条件(约束规范,constraint qualifications)可以用来判断可能有“最佳解”(是局部最佳解,但不一定是全域最佳解)的方式。
考虑以下形式的非线性规划:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{minimize }}&f_{0}(x)\\{\text{subject to }}&f_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\ldots ,m\right\}\\&h_{i}(x)=0,\ i\in \left\{1,\ldots ,p\right\}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959ea79037d6bb15c72ec1cbf6abd9471126bff5)
其定义域
有非空的内部。其拉格朗日函数
定义为
![{\displaystyle \Lambda (x,\lambda ,\nu )=f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe61b6f68723b5caaf9800fd8812ddf657bfe67f)
向量
和
是有关此问题的“对偶变数”(dual variables)或拉格朗日乘数向量(Lagrange multiplier vectors)。拉格朗日对偶函数(Lagrange dual function)
定义如下
![{\displaystyle g(\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\Lambda (x,\lambda ,\nu )=\inf _{x\in {\mathcal {D}}}\left(f_{0}(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}f_{i}(x)+\sum _{i=1}^{p}\nu _{i}h_{i}(x)\right).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949b98f6bf4c6c7ba92e3ebe1bb97ca2da258205)
对偶函数g是凹函数,就算初始问题不是凸也会如此,因为是仿射函数的点状最大下界。对偶函数提供初始问题最佳值
的下界:针对任意
及任意
,可以得到
。
若满足约束规范(例如斯莱特条件),且原问题是凸,则可以得到强对偶
。
针对有不等式限制的凸最小化问题
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c6ccd045babccb07dd314fa88e859061cdc09e)
拉格朗日对偶问题为
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {u}{\operatorname {maximize} }}&&\inf _{x}\left(f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bfdefa123870c9395685d29376fd5b92500a94)
其中目标函数是拉格朗日对偶函数。假设函数
and
连续可微,最大下界出现在梯度等于零的位置。问题
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {x,u}{\operatorname {maximize} }}&&f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}g_{j}(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\,\nabla g_{j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\ldots ,m\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f04e5e46ae2ad785e716d9b75135ffb554368b4)
称为Wolfe对偶问题。此问题用计算的方式处理可能会很困难,因为目标函数在联合变数
上不是凹。而且,一般而言,等式的限制条件
也是非线性的,因此Wolfe对偶问题一般而言会不会是凸最佳化问题。不论如何,弱对偶会成立[5]。
依照乔治·伯纳德·丹齐格所述,在丹齐格提出了线性规划问题后,约翰·冯·诺伊曼就提出了线性规划的对偶性定理的猜想。冯·诺伊曼注意到他使用了来自其博弈论中的资讯,并且猜想两人零和的矩阵博弈和线性规划等效。严谨的证明最早是由阿尔伯特·塔克和其团队发表(丹齐格在Nering和塔克1993年著作中的前言)
Boţ, Radu Ioan; Wanka, Gert; Grad, Sorin-Mihai. Duality in Vector Optimization. Springer. 2009. ISBN 978-3-642-02885-4.
Csetnek, Ernö Robert. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. Logos Verlag Berlin GmbH. 2010. ISBN 978-3-8325-2503-3.
Geoffrion, Arthur M. Duality in Nonlinear Programming: A Simplified Applications-Oriented Development. SIAM Review. 1971, 13 (1): 1–37. JSTOR 2028848. doi:10.1137/1013001.
- Ahuja, Ravindra K.; Magnanti, Thomas L.; Orlin, James B. Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice Hall. 1993. ISBN 0-13-617549-X.
- Bertsekas, Dimitri; Nedic, Angelia; Ozdaglar, Asuman. Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific. 2003. ISBN 1-886529-45-0.
- Bertsekas, Dimitri P. Nonlinear Programming 2nd. Athena Scientific. 1999. ISBN 1-886529-00-0.
- Bertsekas, Dimitri P. Convex Optimization Theory. Athena Scientific. 2009. ISBN 978-1-886529-31-1.
- Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude; Sagastizábal, Claudia A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Universitext Second revised ed. of translation of 1997 French. Berlin: Springer-Verlag. 2006: xiv+490 [2021-05-15]. ISBN 3-540-35445-X. MR 2265882. doi:10.1007/978-3-540-35447-5. (原始内容存档于2013-07-19).
- Cook, William J.; Cunningham, William H.; Pulleyblank, William R.; Schrijver, Alexander. Combinatorial Optimization 1st. John Wiley & Sons. November 12, 1997. ISBN 0-471-55894-X.
- Dantzig, George B. Linear Programming and Extensions
. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1963.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. Convex analysis and minimization algorithms, Volume I: Fundamentals. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 305. Berlin: Springer-Verlag. 1993: xviii+417. ISBN 3-540-56850-6. MR 1261420.
- Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. 14 Duality for Practitioners. Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 306. Berlin: Springer-Verlag. 1993: xviii+346. ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240.
- Lasdon, Leon S. Optimization theory for large systems. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2002: xiii+523 [Reprint of the 1970 Macmillan]. ISBN 978-0-486-41999-2. MR 1888251.
- Lawler, Eugene. 4.5. Combinatorial Implications of Max-Flow Min-Cut Theorem, 4.6. Linear Programming Interpretation of Max-Flow Min-Cut Theorem. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Dover. 2001: 117–120. ISBN 0-486-41453-1.
- Lemaréchal, Claude. Lagrangian relaxation. Jünger, Michael; Naddef, Denis (编). Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Lecture Notes in Computer Science (LNCS) 2241. Berlin: Springer-Verlag. 2001: 112–156. ISBN 3-540-42877-1. MR 1900016. doi:10.1007/3-540-45586-8_4.
- Minoux, Michel. Mathematical programming: Theory and algorithms. Egon Balas (forward); Steven Vajda (trans) from the (1983 Paris: Dunod) French. Chichester: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Ltd. 1986: xxviii+489. ISBN 0-471-90170-9. MR 0868279. (2008 Second ed., in French: Programmation mathématique : Théorie et algorithmes, Éditions Tec & Doc, Paris, 2008. xxx+711 pp. )).
- Nering, Evar D.; Tucker, Albert W. Linear Programming and Related Problems
. Boston, MA: Academic Press. 1993. ISBN 978-0-12-515440-6.
- Papadimitriou, Christos H.; Steiglitz, Kenneth. Combinatorial Optimization : Algorithms and Complexity Unabridged. Dover. July 1998. ISBN 0-486-40258-4.
- Ruszczyński, Andrzej. Nonlinear Optimization. Princeton, NJ: 普林斯顿大学出版社. 2006: xii+454. ISBN 978-0691119151. MR 2199043.