实际数

实际数（英语：practical number）是指任意正整数n使得所有小于n的正整数都可以用数个n的相异真约数和表示。例如12的真约数有1, 2, 3, 4及6，而1至11的数字中有几个不是12的真约数，但都可以表示为数个相异真约数的和：5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。

通过古氏积木体现12是一个实际数。

以下是实际数的列表（OEIS数列A005153）：1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....

12,13世纪的意大利数学家斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中，在说明如何用埃及分数的和表示有理数时有用到实际数。斐波那契没有正式的定义实际数，但其中有一个表，其中有许多分数的分母为实际数^[1]。

实际数（practical number）一词最早是由Srinivasan在1948年开始使用，他希望可以找出有这类性质的数字^[2]，此工作后来在1955年由Stewart和Sierpiński完成^[3][4]。利用正整数的素因数分解可以判断是否是实际数，所有2的幂及偶数的完全数都是实际数。

已发现实际数和素数有许多类似的特质^[5][6][7][8]。

实际数的充份必要条件

一个正整数可以由其素因数分解看出是否是实际数^[3][4]，一正整数${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}}$，其中${\displaystyle n>1}$，素因数为${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$，其为实际数当且仅当${\displaystyle p_{1}=2}$，且对于每个2到k之间的i：

${\displaystyle p_{i}\leq 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},}$

其中${\displaystyle \sigma (x)}$为x的除数函数。

例如3 ≤ σ(2)+1 = 4，29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40，及823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171，因此2 × 3² × 29 × 823 = 429606为一实际数。

由于以上条件成立时，才能用其他较小的约数和表示${\displaystyle p_{i}-1}$，因此是一正数为实际数的必要条件。上述条件也是一正数为实际数的充份条件。

和其他数列的关系

所有2的幂都是实际数^[2]。2的幂的素因数分解满足实际数的充份必要条件：第一个素因数为2。所有偶数的完全数也都是实际数^[2]：依照欧拉的研究，偶数的完全数可以表示为2^n − 1(2ⁿ − 1)，其奇数的素因数可以用其他偶数部分的除数函数来表示，因此也满足实际数的充份必要条件。

任一个素数阶乘也都是实际数^[2]。根据伯特兰－切比雪夫定理，素数阶乘中最大的素数会小于次大素数和最小素数（2）的乘积，因此满足实际数的充份必要条件。前k个素数幂次的乘积也都是实际数，包括阶乘以及斯里尼瓦瑟·拉马努金提出的高合成数^[2]。

和埃及分数的关系

若n为实际数，则小于1的有理数m/n可以表示∑d_i/n来表示，其中d_i为n的相异约数，此式的每一项都可以化简为单位分数，因此此式即为m/n的埃及分数表示式。例如

${\displaystyle {\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.}$

斐波那契在其著作《计算之书》（Liber Abaci）中列出许多用埃及分数表示有理数的方式，首先先确认分数是否可以直接化简为单位分数，再来则是设法将分子表示为分母约数的和，此方式只在分母为实际数时有效^[1]。斐波那契列出了分母为6, 8, 12, 20, 24, 60及100时，分数用埃及分数表示时的表示式。

和素数的类似之处

实际数特别的一点是其许多性质都类似素数。例如假设p(x)为小于x实际数的个数，Saias证明存在常数c₁及 c₂使得下式成立^[8]：

${\displaystyle c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},}$

以上公式可以对应素数的素数定理。此证明解答了Margenstern的猜想：存在特定常数c，使得p(x)渐近于cx/log x^[6]。也强化了保罗·埃尔德什所提出：实际数在正整数中的密度为0的论点^[9]。

实际数也有对应哥德巴赫猜想及孪生素数猜想的定理：每一个偶数可以表示为二个实际数的和，以及存在无限多个 x − 2, x, x + 形式的实际数^[7]。Melfi也证明在斐波那契数列中存在无限多个实际数，素数对应的问题是是否存在无限多个斐波那契素数，此问题仍为开放问题，还没有被证明，但也还找不到反例。Hausman及Shapiro证明若x为正实数，在[x²,(x + 1)²]区间内存在实际数，可以对应素数中的勒让德猜想^[5]。

参考资料

1. Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8
2. Srinivasan, A. K., Practical numbers (PDF), Current Science, 1948, 17: 179–180 [2013-01-13], MR 0027799, （原始内容存档 (PDF)于2019-11-16）
3. Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, 76 (4): 779–785, JSTOR 2372651, MR 0064800, doi:10.2307/2372651
4. Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762
5. Hausman, Miriam; Shapiro, Harold N., On practical numbers, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1984, 37 (5): 705–713, MR 0752596, doi:10.1002/cpa.3160370507
6. Margenstern, Maurice, Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures, Journal of Number Theory, 1991, 37 (1): 1–36, MR 1089787, doi:10.1016/S0022-314X(05)80022-8
7. Melfi, Giuseppe, On two conjectures about practical numbers, Journal of Number Theory, 1996, 56 (1): 205–210, MR 1370203, doi:10.1006/jnth.1996.0012
8. Saias, Eric, Entiers à diviseurs denses, I, Journal of Number Theory, 1997, 62 (1): 163–191, MR 1430008, doi:10.1006/jnth.1997.2057
9. Erdős, Paul; Loxton, J. H., Some problems in partitio numerorum, Journal of the Australian Mathematical Society (Series A), 1979, 27 (03): 319–331, doi:10.1017/S144678870001243X

外部链接

• Tables of practical numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） compiled by Giuseppe Melfi
• Practical Number at PlanetMath.
• 埃里克·韦斯坦因. Practical Number. MathWorld.