在经典力学里,对于一个动力系统,随着时间的演进,所有保持不变的物理量都称为守恒量(conserved quantity),又称为运动常数。[1]由于很多物理定律会表达某种守恒行为,对应的守恒量时常会出现于真实系统。例如,假设在某系统内涉及的作用力是保守力,则此系统的能量是守恒量。假设涉及的作用力是有心力,则此系统的角动量是守恒量。
根据动量守恒定律,假若一个粒子所感受到的外力,其总矢量和为零,则这粒子的动量保持不变,是一个守恒量。在这状况下,粒子会呈匀速运动或著静止不变。[2]以方程表达,假设粒子感受到的合外力为零:
。
根据牛顿第二定律,合外力与动量
的关系式为
。
所以,动量是一个常数,是一个守恒量。
根据角动量守恒定律,假若一个粒子所感受到的外力矩,其其总矢量和为零,则这粒子的角动量保持不变,是一个守恒量。在这状况下,粒子会呈匀角运动或直线运动。[2]以方程表达,假设粒子感受到的合外力矩
为零:
。
合外力矩与角动量
的关系式为
。
所以,角动量是一个常数,是一个守恒量。
思考一个物理系统,其拉格朗日量是动能
与势能
的差值:
。
通常,动能的参数为广义速度
(符号上方的点号表示对于时间
的全导数),而势能的参数为广义坐标
,所以,拉格朗日量的参数为
。
这物理系统的运动轨道,以拉格朗日方程表示为
;
其中,
是时间。
拉格朗日量对于时间的全导数为
。
将拉格朗日方程代入,可以得到
。
定义“能量函数”
为
,
则能量函数与拉格朗日量的关系为
。
假若拉格朗日量显性地与时间无关,
,
,则能量函数是一个常数,是一个守恒量。设定
,这常数
可以称为这物理系统的能量。因此,这物理系统的能量守恒。