大截角截半二十面体

在几何学中，大截角截半二十面体（英语：great truncated icosidodecahedron）又称为星形截角截半二十面体（英语：great quasitruncated icosidodecahedron或stellatruncated icosidodecahedron^[3]）是一种非凸均匀多面体，由30个正方形、20个正六边形和12个正十角星组成^[4][5]，其索引为U₆₈，对偶多面体为大四角化菱形三十面体（维基数据所列：Q18048490）^[6]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[7][8]在施莱夫利符号中，大截角截半二十面体可以表示为t_0,1,2{⁵⁄₃,3}或t'{3
5/2}^[1]:166[9]，在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为，在威佐夫记号中可以表示为⁵⁄₃ 2 3 |^[2][10][9]。在拓朴学上，这个立体与大斜方截半二十面体拓朴同构。^[3]

大截角截半二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大四角化菱形三十面体（维基数据所列：Q18048490）
识别
名称	大截角截半二十面体 great truncated icosidodecahedron great quasitruncated icosidodecahedron stellatruncated icosidodecahedron
参考索引	U68, C87, W108
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Gaquatid
数学表示法
施莱夫利符号	t0,1,2{5⁄3,3} t'{3 5/2}[1]:166
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5⁄3 2 3 |[2]
性质
面	62
边	180
顶点	120
欧拉特征数	F=62, E=180, V=120 （χ=2）
组成与布局
面的种类	30个正方形 20个正六边形 12个正十角星
顶点图	4.6.10/3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
4.6.10/3 （顶点图） 大四角化菱形三十面体（维基数据所列：Q18048490） （对偶多面体）
查 论 编

性质

大截角截半二十面体由62个面、180条边和120个顶点组成。^[11][12]在其62个面中有30个正方形、20个正六边形和12个正十角星^[4][5]。组成大截角截半二十面体的十角星为施莱夫利符号计为{¹⁰⁄₃}的十角星，与组成截角截半大十二面体的十角星相同。组成大截角截半二十面体的120个顶点皆为十角星、正方形与正六边形的公共顶点，在顶点图中可以用¹⁰⁄₃.4.6^[7][3]或6.¹⁰⁄₃.4^[13]来表示。

大截角截半二十面体的凸包为形变的大斜方截半二十面体。^[4]

大截角截半二十面体的凸包

大截角截半二十面体

分类

由于大截角截半二十面体的顶点图为不等边三角形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造，因此大截角截半二十面体是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角拟正多面体一共有五种，分别为立方截角立方八面体、星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体和大截角截半二十面体。^[14]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。^[15][16]

二面角

大截角截半二十面体共有三种二面角，分别为四边形面和十角星面的交角、六边形面和十角星面的交角和四边形和六边形的交角。^[3]

其中四边形和十角星的交角约为121.717度：^[5][3]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {10\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)}$^[5]${\displaystyle =\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)}$^[3]${\displaystyle \approx 2.12437068569194}$^[17]${\displaystyle \approx 121.717474^{\circ }}$

六边形和十角星的交角约为79.188度：^[5][3]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)}$^[5]${\displaystyle =\arccos \left({\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)}$^[3]${\displaystyle \approx 1.382085796}$^[18]${\displaystyle \approx 79.187683^{\circ }}$

四边形和六边形的交角约为69.095度：^[5][3]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}}{6}}\right)\approx 1.20593249868\approx 69.094843^{\circ }}$

顶点座标

若一个几何中心位于原点的大截角截半二十面体边长为单位长，则其顶点座标为：^[19]

${\displaystyle (\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {2{\sqrt {5}}-3}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1,\,\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {7-3{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm 1)}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {4-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-2}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {5-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}-5}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}})}$、 ${\displaystyle (\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},\,\pm {\frac {3\left({\sqrt {5}}-1\right)}{4}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}})}$。

参见

• 星形均匀多面体

参考文献

1. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
2. George W. Hart. Uniform Polyhedra. 1996 [2022-07-26]. （原始内容存档于2018-09-19）.
3. Richard Klitzing. great quasitruncated icosidodecahedron, gaquatid. bendwavy.org. [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-01-25）.
4. Jürgen Meier. 11.16. Great truncated icosidodecahedron. 3d-meier.de （德语）.
5. David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra: Great Truncated Icosidodecahedron. [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-02-14）.
6. Weisstein, Eric W. (编). Great Truncated Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. Maeder, Roman. 68: great truncated icosidodecahedron. MathConsult. [2022-07-26]. （原始内容存档于2020-02-17）.
8. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #73. harel.org.il. [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-08-22）.
9. Eric W. Weisstein. Great Truncated Icosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-07-26]. （原始内容存档于2021-12-04）.
10. V.Bulatov. great truncated icosidodecahedron. [2022-07-26]. （原始内容存档于2022-07-26）.
11. Paul Bourke. Uniform Polyhedra. paulbourke.net. 2004-10 [2022-07-26]. （原始内容存档于2014-04-02）.
12. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 5: Omnitruncates. polytope.net. 2012. （原始内容存档于2021-03-02）.
13. Jim McNeill. Uniform Polyhedra. orchidpalms.com. [2022-07-26]. （原始内容存档于2015-09-24）.
14. David I. McCooey. Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra. [2022-07-30]. （原始内容存档于2022-02-14）.
15. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
16. Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216.
17. Wolfram, Stephen. "acos(-sqrt(10*(5-sqrt(5)))/10)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
18. Wolfram, Stephen. "acos(sqrt(15*(5-2*sqrt(5)))/15)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
19. Data of Great Truncated Icosidodecahedron. dmccooey.com. [2022-07-26]. （原始内容存档于2018-01-24）.