拿破仑问题

拿破仑问题（Napoleon's problem）是著名的圆规作图问题，原题如下：

给定一圆和其圆心，只用圆规将此圆四等分。（此圆指的是圆周而不是圆面积）

此题目是由意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼向拿破仑·波拿巴提出的问题，但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化，变成只给定一圆，只用圆规将此圆四等分，在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。

1672年，乔治·莫尔（英语：Georg Mohr）证明只要使用圆规就可以解决所有的尺规作图^[1]，但此证明直到1928年才被发现。^[2]

找出圆心

${\displaystyle C}$→深蓝、${\displaystyle C_{1}}$→红、${\displaystyle C_{2}}$→绿、${\displaystyle C_{3}}$→紫、${\displaystyle C_{4}}$→蓝

作法

1. 在已知的圆${\displaystyle C}$上找任意一点 A，以任意半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$（必须和圆${\displaystyle C}$有交点，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圆${\displaystyle C}$于 B'、B 两点。
2. 分别以B'、B为圆心， ${\displaystyle {\overline {B'A}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BA}}}$ 为半径，画两条弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{2}}}$，两弧线相交于 A 点和 C 点。
3. 再以 C 点为圆心、 ${\displaystyle {\overline {CA}}}$为半径，画弧 ${\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}}$ ，交弧${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$于 D'、D两点。
4. 以D'、D为圆心， ${\displaystyle {\overline {D'A}}}$ 、${\displaystyle {\overline {DA}}}$ 为半径，画两条弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$ ，两弧线相交于A点和O点。（O点即圆${\displaystyle C}$的圆心）

证明

设圆${\displaystyle C_{1}}$的半径为${\displaystyle a}$，圆${\displaystyle C_{3}}$的半径为${\displaystyle b}$，我们知道：

${\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}}$

${\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}}$

因为${\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD}$，所以${\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}}$

由于${\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}}$，可以得出${\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB}$

根据对称性，${\displaystyle {\overline {AO}}}$通过圆心，又${\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}}$，所以${\displaystyle O}$是圆${\displaystyle C}$的圆心。

四等分圆

作法

由前面我们已经知道圆心的位置

1. 在已知的圆上找任意一点 ${\displaystyle X}$，以${\displaystyle {\overline {XO}}}$为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$，交圆于 ${\displaystyle V}$、${\displaystyle Y}$ 两点。
2. 以 ${\displaystyle Y}$ 为圆心，${\displaystyle {\overline {YO}}}$为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{2}}}$，交圆于 ${\displaystyle Z}$ 点（和 ${\displaystyle X}$ 点）。
3. （继续分别以 ${\displaystyle Z}$、${\displaystyle V}$ 为圆心，${\displaystyle {\overline {ZO}}}$、${\displaystyle {\overline {VO}}}$ 为半径画弧，即可将圆六等分，）${\displaystyle V}$、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$、${\displaystyle Z}$ 为四个六等分点（如图）。
4. 以 ${\displaystyle V}$ 为圆心，${\displaystyle {\overline {VY}}}$为半径画弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{3}}}$；以 ${\displaystyle Z}$ 为圆心，${\displaystyle {\overline {ZX}}}$为半径画弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$，两弧交于 ${\displaystyle T}$ 点。
5. 以 ${\displaystyle Z}$ 为圆心，取${\displaystyle {\overline {OT}}}$的长度 ${\displaystyle {\color {Green}D}}$ 为半径画弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{5}}}$，交圆于 ${\displaystyle U}$、${\displaystyle W}$ 两点。
6. ${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle Z}$、${\displaystyle U}$ 四点将圆四等分。

证明

设圆的半径为${\displaystyle a}$，容易得出${\displaystyle {\overline {OV}}}$、${\displaystyle {\overline {OX}}}$、${\displaystyle {\overline {OY}}}$、${\displaystyle {\overline {OZ}}}$、${\displaystyle {\overline {VX}}}$、${\displaystyle {\overline {XY}}}$、${\displaystyle {\overline {YZ}}}$的长度都是${\displaystyle a}$，可以得出${\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a}$，根据毕氏定理可以得出${\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a}$，因此${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle Z}$、${\displaystyle U}$四点将圆四等分。

参见

• 拿破仑定理
• 尺规作图
• 圆规作图

注解

1. Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
2. Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

参考资料

• Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld
• 拿破仑分圆