唯一素数
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唯一素数(Unique prime)是指一个不为2、5(在十进制时),有以下性质的素数p:不存在其他素数q,其倒数1 / q的循环节长度和1 / p的循环节长度相等。唯一素数是在1980年代由Samuel Yates提出。
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可以证明素数p其倒数的循环节长度为n当且仅当存在一自然数c使得下式成立(下面内容仅限于十进制范畴):
其中Φn(x)为n次的分圆多项式。至2010年为止,已经找到逾50个唯一素数或者有此性质的可能素数(英语:probable prime),但是小于10100的唯一素数只有23个。以下是这些唯一素数(OEIS数列A040017)及其循环节位数(OEIS数列A051627):
More information 倒数循环节长度, 素数 ...
倒数循环节长度 | 素数 |
---|---|
1 | 3 |
2 | 11 |
3 | 37 |
4 | 101 |
10 | 9,091 |
12 | 9,901 |
9 | 333,667 |
14 | 909,091 |
24 | 99,990,001 |
36 | 999,999,000,001 |
48 | 9,999,999,900,000,001 |
38 | 909,090,909,090,909,091 |
19 | 1,111,111,111,111,111,111 |
23 | 11,111,111,111,111,111,111,111 |
39 | 900,900,900,900,990,990,990,991 |
62 | 909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
120 | 100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001 |
150 | 10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001 |
106 | 9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
93 | 900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991 |
134 | 909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091 |
294 | 142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143 |
196 | 999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001 |
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倒数循环节长度294位的唯一素数类似7的倒数(0.142857142857142857...)。
接续上表的第24个唯一素数有128位,倒数循环节长度为320位,可以写成(932032)2+1,其中下标n表示前面的一个数字或一组数字会重复出现n次。
所有循环单位素数都是唯一素数。依照循环单位素数及循环单位可能素数出现的频率来看,唯一素数非常的少见,不过数学家们仍强烈推论有无穷多个唯一素数。
至2010年为止,循环单位(10270343-1)/9是已知最大的可能唯一素数[1]。
至1996年为止,确定是素数的最大唯一素数是(101132 + 1)/10001,若用前文中的表示法,可以表示为(99990000)141+ 1,其倒数循环节长度为为2264位,后来陆续证明更大的唯一素数,至2010年为止,确定是素数的最大唯一素数有10081位数[2]。