向量场

在向量微积分和物理学中，向量场（英语：vector field）^[1]是把空间中的每一点指派到一个向量的映射^[2]。物理学中的向量场有风场、引力场、电磁场、水流场等等。

定义

设X是Rⁿ里的一个连通开集，一个向量场就是一个向量函数

${\displaystyle \mathbf {F} :X\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

我们称${\textstyle \mathbf {F} }$为一个C^k向量场，如果${\displaystyle \mathbf {F} }$在X上是k次连续可微的。

在X内，一个点x被称为固定的，若

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

向量场可以理解为一个n维空间，其中对X内每一个点都有个附着的n维向量。

给定两个定义于X上的C^k-向量场F,G以及一个定义于X上的C^k-实值函数f，可以定义以下运算

${\displaystyle (f\mathbf {F} )(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {(F+G)} (\mathbf {x} )=\mathbf {F} (\mathbf {x} )+\mathbf {G} (\mathbf {x} )}$

如此便可定义在C^k函数的环上的C^k向量场的模。

参考资料

1. 朱桦. 第15章向量场(Vector Fields) (PDF). 国立台湾大学. 2018年12月23日 [2020年6月15日]. （原始内容存档 (PDF)于2020年9月22日）.
2. Galbis, Antonio & Maestre, Manuel. Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. 2012: 12 [2020-06-15]. （原始内容存档于2016-04-25）.