史特芬十四面体

史特芬十四面体是一种弹性多面体，由克劳斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）于1978年发现^{[1][2]:244-247[3]}。这种多面体基于布里卡尔八面体但没有自相交的面^[4]。这个多面体一共有14个三角形面，是最简单的由非相交面组成的弹性多面体。^[5]其遵循强风箱猜想（strong bellows conjecture），这意味着其登不变量（英语：Dehn invariant）在形变过程皆保持不变。^[6]

史特芬十四面体

可局部活动的史特芬十四面体
类别	弹性多面体
对偶多面体	（未知）
性质
面	14
边	21
顶点	9
欧拉特征数	F=14, E=21, V=9 （χ=2）
组成与布局
面的种类	14个三角形
特性
弹性
图像
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查 论 编

性质

史特芬十四面体由14个面、21条边和9个顶点组成。其6个面又可以分成2个子群：来自布里卡尔八面体的6个三角形组，以及将这些三角形组拼起来的另外两个三角形。^[7]

顶点座标

史特芬十四面体的顶点座标为：^[8]

${\displaystyle p_{1}=\left(0,\,0,\,0\right)}$

${\displaystyle p_{2}=\left(-12,\,0,\,0\right)}$

${\displaystyle p_{3}=\left({\frac {1}{24}},\,-{\frac {17{\sqrt {287}}}{24}},\,0\right)}$

${\displaystyle p_{4}=\left(x,\,r\cos \theta ,\,r\sin \theta \right)}$

其中${\displaystyle x}$与${\displaystyle r}$可透过下列方程组得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{1}-p_{4}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{2}-p_{4}\right\|^{2}=100\end{cases}}}$

${\displaystyle p_{5}}$、${\displaystyle p_{6}}$、${\displaystyle p_{7}}$皆是未知数，其可由下列方程组得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{5}-p_{4}\right\|^{2}=121\\\left\|p_{5}-p_{2}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{6}-p_{4}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{1}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{2}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{7}-p_{3}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{5}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{7}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{5}\right\|^{2}=25\end{cases}}}$

${\displaystyle p_{8}}$、${\displaystyle p_{9}}$亦是未知数，分别可由下列两组方程组得出：^[8]

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{8}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{8}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{8}-p_{7}\right\|^{2}=25\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{9}-p_{1}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{9}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{9}-p_{6}\right\|^{2}=144\end{cases}}}$

构成史特芬十四面体的14个三角形分别为${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}}$、 ${\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}}$、${\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}}$。^[8]

体积

根据风箱定理^[9]，多面体的体积必为多项式的根，多项式的系数仅取决于多面体的边长。由于边长不会随着多面体的变形过程改变，因此体积必须保持在多项式的有限个根之一，而不会连续变化^[10]，因此史特芬十四面体在不同的变化状态下体积皆保持不变。以上述顶点座标描述的史特芬十四面体为例，虽然其有不少顶点是可变的值，其在所有变化状态下的体积皆为定值，其值约为200.777立方单位。^[8]:6

参见

• 弹性多面体

参考文献

1. Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF). 2015 [2021-09-09]. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-15）. 引文格式1维护：显式使用等标签 (link)
2. Cromwell, P. R. Polyhedra. New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059.
3. Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637.
4. Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A.（英语：David A. Klarner） (编), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1, doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10.
5. Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172
6. Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098, arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7.
7. Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09], ISBN 978-0-8218-4316-1, MR 2350979, doi:10.1090/mbk/046, （原始内容存档于2017-03-03）.
8. Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF). marksmath.org. [2021-09-09]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-06）.
9. Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4, MR 3894642, doi:10.1134/S0371968518030068
10. Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172

外部链接

• Steffen's Polyhedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Greg Egan（英语：Greg Egan）