反扭棱大星形十二面体

反扭棱大星形十二面体是一种星形均匀多面体，由80个正三角形和12个正五角星组成^[1]，索引为U₆₉，对偶多面体为大逆五角六十面体（维基数据所列：Q18048506）^[2]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[3][1][4]

反扭棱大星形十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大逆五角六十面体（维基数据所列：Q18048506）
识别
名称	反扭棱大星形十二面体 great inverted snub icosidodecahedron great vertisnub icosidodecahedron
参考索引	U69, C73, W116
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gisid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	sr{5⁄3,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 5/3 2 3
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	(20+60)个正三角形 12个正五角星
顶点图	3.3.3.3.5⁄3
对称性
对称群	Ih, [5,3]+, 532
图像
3.3.3.3.5⁄3 （顶点图） 大逆五角六十面体（维基数据所列：Q18048506） （对偶多面体）
查 论 编

性质

反扭棱大星形十二面体共由92个面、150条边和60个顶点组成。^[3][5]在其92个面中，有80个正三角形面和12个正五角星面^[6]。这80个三角形面中有60个来自扭棱变换^[7]。

顶角的组成

在反扭棱大星形十二面体的60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形面和1个正五角星面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的顺序排列，在顶点图中可以用(5/3.3.3.3.3)^[8]来表示。

与扭棱大星形十二面体不同，反扭棱大星形十二面体中的五角星与周边面相接的方式相反，因而构成了一个几何上不同，但拓朴上相同的结构。其拓朴结构也与扭棱十二面体相同。^[9]

扭棱大星形十二面体	反扭棱大星形十二面体
将扭棱大星形十二面体的顶角视觉化的图形	将反扭棱大星形十二面体的顶角视觉化的图形

表示法

反扭棱大星形十二面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[10][11]，在施莱夫利符号中可以表示为sr{⁵⁄₃,3}，在威佐夫记号中可以表示为| 5/3 2 3^{[3][6][10][12][4]}。

尺寸

若反扭棱大星形十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[2]

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots }$

其中${\displaystyle x}$是${\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}}$的实根。 以${\displaystyle R^{2}}$为变数的六次方程

${\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}$

共有4个实根，分别是扭棱十二面体、扭棱大星形十二面体、反扭棱大星形十二面体和大反屈扭棱截半二十面体的外接球半径。

顶点座标

反扭棱大星形十二面体的顶点座标为下列座标的偶置换：^[1]

${\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)}$、

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)}$和

${\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)}$，

带有偶数个正号，其中

${\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}}$

且

${\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}}$

其中${\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例、 ${\displaystyle \xi }$是方程式${\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}}$的正实根，约为1.2224727。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话，则会得到反扭棱大星形十二面体的另一种形式，即另一种形式的手性对映体。

参见

• 均匀多面体列表（英语：List_of_uniform_polyhedra）
• 扭棱大星形十二面体

参考文献

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Inverted Snub Icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-02-14）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Great Inverted Snub Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Maeder, Roman. 69: great inverted snub icosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
4. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
5. Robert Whittaker. The Great Inverted Snub Icosidodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #74, great inverted snub icosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2023-01-06）.
7. Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.
8. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
9. Richard Klitzing. great inverted snub icosidodecahedron, great vertisnub icosidodecahedron, gisid. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-10-27）.
10. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
12. V.Bulatov. great inverted snub icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-02-28）.