度量空间(M,d)上的压缩映射(英语:Contraction mapping),或压缩,是一个从M到它本身的函数f,存在某个实数
,使得对于所有M内的x和y,都有:
![{\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2145327fbb25182637f1322cc0aaa35dc8f61f14)
满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的
都满足,则该映射称为非膨胀的。
更一般地,压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间,则我们寻找常数k,使得
对于所有M内的x和y。
每一个压缩映射都是利普希茨连续的,因此是一致连续的。
一个压缩映射最多有一个不动点。另外,巴拿赫不动点定理说明,非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点,且对于M内的任何x,迭代函数序列x,f (x),f (f (x)),f (f (f (x))),……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的,其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在,以及证明反函数定理。[1]
Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244-260.
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
- Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
- William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2