卡诺定理 (垂线)

关于与“卡诺定理 (垂线)”标题相近或相同的条目页，请见“卡诺定理”。

卡诺定理以拉扎尔·卡诺命名，为垂直于三角形各边的直线是否交于一点提供了一个充分必要条件。该定理也可被视为是毕氏定理的一般化。

卡诺定理：若三角形三边上的垂线交于一点F，则蓝色区域面积等于红色区域面积

定理

对于一个三角形${\displaystyle ABC}$，其三边为${\displaystyle a,b,c}$。考虑三条垂直于各边且交于一点的直线，若${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$是这三条垂线在${\displaystyle a,b,c}$上的垂足，则下列关系式成立：

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}$

该命题的逆命题同样成立：若${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$在边上的位置满足关系式，则以这三点为垂足做出的三条垂线会交于一点。因此，该关系式为垂线是否交于一点提供了一个充分必要条件。

特例

若三角形${\displaystyle \triangle ABC}$的角${\displaystyle C}$为直角，则可以将三条垂线的交点${\displaystyle F}$置于${\displaystyle A}$上。此时由于${\displaystyle P_{a}=C}$、 ${\displaystyle P_{b}=A}$且${\displaystyle P_{c}=A}$，可得${\displaystyle |AP_{b}|=0}$、${\displaystyle |AP_{c}|=0}$、${\displaystyle |CP_{a}|=0}$、${\displaystyle |CP_{b}|=b}$、${\displaystyle |BP_{a}|=a}$与${\displaystyle |BP_{c}|=c}$，代入卡诺定理的关系式后，即可推得毕氏定理${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$。

若三条垂线皆为中垂线，则${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$、${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$且${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$，无论三边长度为何，上述关系式必会成立，故可推得三角形的三条中垂线必交于一点。

参考资料

• Wohlgemuth, Martin. (编). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2010: 273–276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882 （German）. 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• 阿尔弗雷德·S·波萨门蒂; Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. 1996: 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.