升交点经度

升交点经度^[1] (longitude of ascending node)（符号是☊ 或 Ω）是用来具体描述天体在空间中轨道的轨道要素之一。它是由参考方向（经度原点 ）起始，在参考平面上量度至昇交点的角度^[2]。因参考平面不同而有升交点经度或升交点赤经等区别。通常作为经度原点和参考平面的有：

• 在常用的地心坐标系下，通常以地球的赤道作为参考平面，春分点作为经度原点，此时，升交点经度被称为升交点赤经，或缩写为RAAN（right ascension of ascending node）。角度是从春分点向东量度（或是说由赤道北方看是逆时针方向）至升交点^[3][4]。
• 在日心轨道之下，黄道是参考平面，春分点作为经度原点。角度是从春分点向东量度（或是说由黄道北方看是逆时针方向）至升交点^[3]。此时的升交点经度特称为升交点经度。
• 在太阳系外的轨道，则在天球上对观测者的基线方向上做一垂直的平面 （天球上的切面，称为天空平面），这个参考平面的北方，就是指向天球北极的方向，以垂直投影的方法将原来的经线投影在参考平面上就可以得到。角度的测量以北方为起点向东测量 (对观测者而言是逆时针方向)至交点的位置^{[5], pp. 40, 72, 137; [6], chap. 17.}。

在日心轨道上的升交点黄经

在联星情况中，只有目视观测是不可能知道哪个点是昇交点和哪个点是降交点。在这种情况下所纪录的轨道参数只是交点的经度，Ω，其数值介于0至180度之间^{[6], chap. 17;[5], p. 72.}。

由状态向量计算

在天体力学及太空动力学中，升交点经度 (longitude of ascending node) 可以从轨道状态向量 [${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$] 计算如下：

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {r} }$: 为天体的位置向量

${\displaystyle \mathbf {v} }$: 为天体的速度向量

${\displaystyle \mathbf {h} }$: 为天体的角动量向量。

位置向量与速度向量构成轨道面，故其外积(角动量向量)在轨道面法线方向。

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {\hat {z}} \times \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$: 为参考平面 Z 轴单位向量。此单位向量垂直于参考平面。为参考面的法线。

${\displaystyle \mathbf {n} }$: 为升交点向量。与升交点线 (line of ascending node) 平行。

因升交点线为轨道面与参考面的交线，故升交点向量与两平面的法线(${\displaystyle \mathbf {h} }$及${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$)都垂直。所以，可以由两平面的法线的外积推算出其方向。而它与参考面的 X 轴的夹角，便是升交点经度。

${\displaystyle \cos \Omega ={\mathbf {n} \cdot \mathbf {\hat {x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\,\,\,}$ (${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$: 为参考平面 X 轴单位向量);

${\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}$

${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}$

此处，n=（n_x, n_y, n_z）是指向升交点的向量。参考平面是假设的xy-平面，经度原点的位置在+x-轴的方向。

对无倾斜轨道（轨道倾斜角为0度）就无须定义Ω。计算时依惯例设为0，也就是说指向昇交点的向量n在参考平面上的方向就是+x-轴。

参考资料

1. 天文学名词（定义版）. 科学出版社. 2001.
2. Parameters Describing Elliptical Orbits （页面存档备份，存于互联网档案馆）, web page, accessed May 17, 2007.
3. Orbital Elements and Astronomical Terms （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Robert A. Egler, Dept. of Physics, North Carolina State University. Web page, accessed May 17, 2007.
4. Keplerian Elements Tutorial （页面存档备份，存于互联网档案馆）, amsat.org, accessed May 17, 2007.
5. The Binary Stars, R. G. Aitken, New York: Semi-Centennial Publications of the University of California, 1918.
6. Celestial Mechanics （页面存档备份，存于互联网档案馆）, J. B. Tatum, on line, accessed May 17, 2007.

相关条目

• 春分点
• 昼夜平分点
• 轨道交点