八边形

在几何学中，八边形，又称八角形^[1]是指有八条边和八个顶点的多边形，其内角和为1080度^[2]。八边形有很多种，其中对称性最高的是正八边形。其他的八边形依照其类角的性质可以分成凸八边形和非凸八边形，其中凸八边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸八边形可以在近一步分成凹八边形和星形八边形，其中星形八边形是边自我相交的八边形。

正八边形
一个正八边形
类型	正多边形
对偶	正八边形（本身）
边	8
顶点	8
对角线	20
施莱夫利符号	{8} t{4}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	二面体群 (D8), order 2×8
面积	${\displaystyle {\frac {8}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}}$ ${\displaystyle \approx 4.828427124746a^{2}}$
内角（度）	135°
内角和	1080°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

性质

绿色四边形是由一个八边形每个棱外接（或内接）正方形，其几何中心与对边的棱外接（或内接）正方形的几何中心连线中点构成，其具有对角线会垂直且等长的性质

所有八边形都可以利用顶点切割成6个三角形，而每个三角形的内角和为180度，因此所有八边形的内角和都是1080度^[2]。特别的，因为任意多边形最终会绕一圈连回最初的点，因此所有外角的和等于圆周，因此所有多边形的外角和都是360度。

若在一个任意八边形的每个边上都构造一个边长与原八边形相同的正方形，其中一个边为八边形的边，且他们都统一在该八边形的内部或外部，则每个正方形向对面正方形的几何中心连心线的中间点所构成的四边形其对角线会垂直且等长^{[3]:Prop. 9}。

而任意八边形的中点八边形，即把任意八边形每个边中点与相邻边中点连线成的八边形，换句话说就是对偶八边形，若将这种八边形每个边上都构造一个边长与原八边形相同的正方形，且他们都统一在该八边形的内部或外部，则每个正方形向对面正方形的重心连心线的中点所构成的四边形是正方形^{[3]:Prop. 10}。

任意八边形都有这种性质，不论凸、非凸或复杂八边形，但八条边的复合图形则除外。

正八边形

正八边形是指所有边等长、所有角等角的八边形，由八条相同长度的边和八个相同大小的角构成，是一种正多边形。正八边形的内角是 3π/4 弧度，换算成角度是135度。在施莱夫利符号中用 {8} 来表示^[4]。由于正八边形可看作是截去所有顶点的正方形，即截角的正方形，因此在施莱夫利符号中也可以计为 t{4}。而截角的八边形为十六边形，在施莱夫利符号计为 t{8}。正八边形可以被分割成两个梯形跟一个矩形，这种图称为八边形-四边形图^[5]。

面积

对于一个已给定边长a的正八边形，其面积为：

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}}$

若已知外接圆半径为R，其面积为：

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}$

若已知内切圆半径或边心距为r，则其面积为：

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}$

正八边形的面积可借由截角正方形的方式计算

其面积也可以表示为：

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

其中，S是八边形的宽度，其值与次短对角线相等；a是边长，或者某个底边的长度。这个面积的公是十分容易证明。取一个正八边形，在正八边形外变化一个正方形，并确保正方形与正八边形的其中四条边部分重叠，然后将正方形四个直角依据正八边形的边长分割出四个等腰直角三角形。取下四个等腰直角三角形可以拼出一个边长与正八边形边长相等的正方形

已知边长为a，则其宽度S是

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

然后面积为

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

若以宽度来表示其面积，则为

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

另外一个简化的面积表示为

${\displaystyle \ A=2aS.}$

若已知S，边长a就能被确定，即上面将正方形切割成正八边形的过程

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

被切去的三角形的底边长${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$，也可以由S和a计算得：

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

半径

边长为a的正八边形外接圆半径为：^[6]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a,}$

内切圆半径为：

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a.}$

构造

1. 先画一个圆，做一个内接正方形ABCD。
2. 过圆心O向任意一边（设为AB）做垂线并延长，延长线交圆O于E。
3. 分别以A,B为圆心，AE为半径画弧，交圆于E,F,G,H。
4. 连接EAFBGCHD，即为正八边形。

其他八边形

除了正八边形之外，还有多种不同的八边形。例如常见的T字形、和“凹”字，就是一种凹八边形。

星形八边形

星形八边形是一种非凸的八边形，通常具有边自我相交的性质

{8/2} 2{4}

{8/3}

{8/4} 4{2}

复八边形

复八边形是指位于${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$复希尔伯特平面由8条边组成的复多边形。由于复空间中的多边形未必会边数与顶点数相同，因此复八边形与复八角形不一定等价。较知名的复八边形为莫比乌斯－坎特八边形。

莫比乌斯－坎特八边形

主条目：莫比乌斯－坎特八边形

莫比乌斯－坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构，其在施莱夫利符号中可以用₃{3}₃来表示、在考克斯特记号中可以用来表示。与一般的八边形不同，莫比乌斯－坎特八边形位于复希尔伯特平面，且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点，称为三元棱或三元边（Trion），这种几何结构在施莱夫利符号中可以用₃{}来表示。^[8]

莫比乌斯－坎特八边形的正投影图

考克斯特平面	B4		F4
图
对称性	[8]		[12/3]

扭歪八边形

一个正扭歪八边形，位于四角反柱的侧面边上，具有D_4d, [2⁺,8], (2*4)的对称性，阶数为16

环辛烷的碳原子位置是一个扭歪八边形^[9]

扭歪八边形，又称不共面八边形，是指顶点并非完全共面的八边形。

立方体, 正方形对角线

立方体

交叉立方体

皮特里多边形

一些高维度多胞体的皮特里多边形是扭歪八边形。这些扭歪多边形显示于射影的A₇、B₄和D₅考克斯特平面（英语：Coxeter plane）。

A7	D5	B4
七维正八胞体	五维半立方体（英语：5-demicube）	正十六胞体	超立方体

八边形的对称性

对称性

八边形的11种对称性

正八边形具有Dih₈的二面体群对称性，阶数为16。九边形的二面体群对称群共有3个子群，他们分别为：Dih₄、Dih₂和Dih₁；其循环群也有4个子群，他们分别为：Z₈、Z₄、Z₂和Z₁。

八边形的对称性

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

图

K₈完全图经常会被以正八边形的图形绘制来描述其28条连接边。这个图与七维正八胞体的正投影图（英语：orthographic projection）同为8个顶点和28条边。

七维正八胞体

另外K₈完全图也显示了八边形的20条对角线。

使用

大厅椅子，1795年，具有八角形图案和设计。座位是八角形的，后面有一个八角形的剪纸面板。椅子是绿色条纹的。展示于德文郡的 A la Ronde。

八边形经常用在艺术品、建筑物或产品设计上。例如八角门^[10][11]。在建筑物主体上，八边形通常会使建筑物程八角柱，例如十三行博物馆的主要建筑物^[12]。在产品设计上，知名电脑公司苹果公司曾以八边形的形状进行iPhone的设计^[13]。

参见

• 八边形数

参考文献

1. 八角形，八邊形. 国家教育研究院. [2016-08-28]. （原始内容存档于2016-09-14）.
2. Polygons – Octagons. coolmath.com. [2017-05-28]. （原始内容存档于2019-08-10）.
3. Dao Thanh Oai (2015), "Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Forum Geometricorum 15, 105--114.
4. Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974 [2016-08-27], ISBN 9780521098595, （原始内容存档于2016-08-11）.
5. Luigia Berardia, Mario Gionfriddob, Rosaria Rota Pressdate=2010-07-28, Perfect octagon quadrangle systems 310 (13–14): 1979–1985, doi:10.1016/j.disc.2010.03.012.
6. Weisstein, Eric W. (编). Octagon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
7. Coxeter, H.S.M., Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2
8. Complex Regular Polytopes,^[7] 11.1 Regular complex polygons p.103
9. Hendrickson, James B. Molecular Geometry V. Evaluation of Functions and Conformations of Medium Rings. Journal of the American Chemical Society. 1967, 89 (26): 7036–7043. doi:10.1021/ja01002a036.
10. 八角門. 鹿港采风古意导览. [2016-08-28]. （原始内容存档于2019-05-02）.
11. 台灣風景/ 台北縣/ 中和圓通寺/ 八角門. 吉琦. [2016-08-28]. （原始内容存档于2019-05-02）.
12. 十三行博物馆 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 八角柱建筑 在最后一段
13. 八邊形的 iPhone 原型機？來看看蘋果在專利大戰中曝光的秘密. 虎嗅网. 科技新报. 2015-12-09 [2016-08-28]. （原始内容存档于2020-10-23）.

外部链接

• 有关八边形的介绍 （页面存档备份，存于互联网档案馆）