克莱因四元群

数学上，克莱因（Klein）四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示（来自德文的四元群Vierergruppe）。它是阿贝尔群，同构于${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。

结构

若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：

+	0	e	f	g
0	0	e	f	g
e	e	0	g	f
f	f	g	0	e
g	g	f	e	0

这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：

x	0	e	f	g
0	0	0	0	0
e	0	e	f	g
f	0	f	g	e
g	0	g	e	f

克莱因四元群是下图的图自同构群。

${\displaystyle {\begin{matrix}\circ \!\!-\!\!\circ \\\circ \;\;\circ \\\end{matrix}}}$

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >

在这表示中，V是交错群A₄的正规子群，也是4个字母上的对称群S₄的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了四次方程可以用根式求解的原因。