伦敦方程

伦敦方程把超导体的电流与其里面及周围的电磁场联系起来，这两条方程是由弗里茨与海因茨·伦敦两兄弟于1935年提出的。^[1]它们可被视为超导现象最简单的有效描述，所以几乎所有介绍超导的现代教科书，都会把伦敦方程视为入门必修课^[2][3][4]。这套方程组最大的成就，就在于它们成功地解释了迈斯纳效应^[5]；该效应指的是，当超导体温度低于超导的门槛后，它会愈来愈快地排斥掉其内部所有的磁场。

当超导体的温度降至其超导临界温度以下时，超导体内的磁场会经由迈斯纳效应被排斥出去。伦敦方程为这样的效应提供了量化的解释。

数学表述

以可量度的场表示时，伦敦方程共有两条：

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}={\frac {n_{s}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \,}$。

其中${\displaystyle {\mathbf {j} }_{s}}$为超导电流，E和B分别为超导体内部的电场与磁场，${\displaystyle e\,}$为基本电荷，${\displaystyle m\,}$为电子质量，而${\displaystyle n_{s}\,}$为一现象常数，大致上与超导电子的数密度有关^[6]。本条目全篇都使用高斯cgs单位制。

另一方面，可以利用较抽象的概念——磁矢势A，来把上面两条式子写成较简便的形式，也就独立一条的“伦敦方程”^[6][7]：

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {A} \,}$。

上述这条方程只有一个缺点，就是它一般不具有规范不变性，但只有在符合伦敦规范时，即矢量场A的散度为零，才具有规范不变性 ^[8]。

伦敦穿透深度

若使用安培定律来处理第二条伦敦方程的话^[9]：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}}$，

这样最后会得出一条微分方程

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {B} ,\qquad \lambda \equiv {\sqrt {\frac {mc^{2}}{4\pi n_{s}e^{2}}}}\,}$。

因此从量纲可见，伦敦方程内含一特有的长度大小，${\displaystyle \lambda }$，而在这个长度中，外来的磁场会被愈来愈快地被排斥。这个数值被称为伦敦穿透深度。

举例说，一超导体与自由空间之间的边界是平的，而超导体外面的磁场大小是固定的，且方向跟z轴一致，与边界平面平行。若x从边界指向超导体内部，则内部的磁场解为

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }\,}$，

从上式可以较容易地理解到伦敦穿透深度的物理意义。

伦敦方程的基本原理

最初的论述

需要注意的是，上述各方程并不能用文字推导出来 ^[10]，尽管如此，伦敦兄弟在表述这套理论时，还是有跟着一套凭直觉所得的逻辑。欧姆定律指出，电流与电场成正比；即使各种物质的构造不同，但是大致遵守欧姆定律的物质种类还是出奇地多。然而，超导体是不可能有这样的线性关系，因为超导时电流都没有电阻，而这点就是超导的定义。为了这一点，伦敦兄弟把超导电子想像成，受均匀外在电场影响的真空电子。根据洛伦兹力方程：

${\displaystyle \mathbf {F} =e\mathbf {E} +{\frac {e}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

这些电子应感受到一股均匀的力，并因此均匀地加速。第一条伦敦方程所描述的正是如此。

要得出第二条方程，先取第一条伦敦方程的旋度，然后使用法拉第定律：

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$，

最后可得

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{s}+{\frac {n_{s}e^{2}}{mc}}\mathbf {B} \right)=0\,}$。

就现时所得的方程而言，方程同时允许不变解及指数衰变解。伦敦兄弟从迈斯纳效应中察觉到，非零的不变解是不具有物理意义的，因此他们假定不单是上式的时间导数为零，还有括号内的式子也必须是零。由此得出第二条伦敦方程。

正则动量论述

要解释伦敦方程，还有其他方法^[11][12]。电流密度的表示式如下：

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=n_{s}e\mathbf {v} }$。

要把上式由经典描述转为量子力学的描述，就必须把j及v的数值，改为对应算符的期望值。速度算符的表示式如下

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)}$。

把具有规范不变性的动态动量算符，除以粒子质量m，就能得到速度算符^[13]。然后可以将速度算符代入电流密度的表示式。然而，超导的微观理论中有一个重要的假设，就是一系统的超导态是这个系统的基态，而根据布洛赫的一条定理^[10]，这样一个态的正则动量p为零。因此得

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{s}e_{s}^{2}}{mc}}\mathbf {A} }$，

也就是上面用矢量场A所表示的伦敦方程。

注释及参考资料

1. London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor. Proc. Roy. Soc. (London). March 1935, A149 (866): 71. ISSN 0080-4630. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-064878-6.
3. Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 738. ISBN 0-03-083993-9. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
4. Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 1999. ISBN 0-47-141526-X.
5. Meissner, W.; R. Ochsenfeld. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit. Naturwissenschaften. 1933, 21 (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
6. James F. Annett. Superconductivity, Superfluids and Condensates. Oxford. 2004: 58. ISBN 0-19-850756-9.
7. John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 604. ISBN 0-19-850756-9.
8. Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 6. ISBN 0-07-064878-6.
9. （因为假设了电场只会随着时间缓慢地变动，而且位移电流项已经受到1/c这个因子的压抑，因此可以视位移为零。）
10. Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5. ISBN 0-07-064878-6.
11. John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 603–604. ISBN 0-19-850756-9.
12. Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5–6. ISBN 0-07-064878-6.
13. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory. Butterworth-Heinemann. 1977: 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.