伽利略变换 是经典力学 中用以在两个只以匀速相对移动的参考系 之间变换的方法,属于一种被动态变换。在相对论 效应下,伽利略变换在物体以接近光速 运动时不成立[ 1] ,在电磁系统中也不会成立。[ 2]
伽利略·伽利莱 在解释匀速运动时制定了这一套概念。[ 3] 他用其解释球体 滚下斜面 这一力学问题,并测量出地球 表面引力 加速度 的数值。
在狭义相对论中,伽利略变换被庞加莱变换 所取代;相反,庞加莱变换的经典极限 c →∞中的群收缩产生了伽利略变换。
伽利略变换示意图
伽利略变换建基于人们加减物体速度的直觉。在其核心,伽利略变换假设时间和空间是绝对 的。
这项假设在洛伦兹变换 中被舍弃,因此就算在相对论 性速度下,洛伦兹变换也是成立的;而伽利略变换则是洛伦兹变换的低速近似值。
以下为伽利略变换的数学表达式,其中
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle (x,y,z,t)}
和
(
x
′
,
y
′
,
z
′
,
t
′
)
{\displaystyle (x',y',z',t')}
分别为同一个事件在两个坐标系
S
{\displaystyle S}
和
S
′
{\displaystyle S'}
中的坐标。两个坐标系以相对匀速运行(速度 为
v
{\displaystyle v}
),运行方向为
x
{\displaystyle x}
和
x
′
{\displaystyle x'}
,原点在时间
t
=
t
′
=
0
{\displaystyle t=t'=0}
时重合。
[ 4]
[ 5]
[ 6]
[ 7]
x
′
=
x
−
v
t
{\displaystyle x'=x-vt\,}
y
′
=
y
{\displaystyle y'=y\,}
z
′
=
z
{\displaystyle z'=z\,}
t
′
=
t
{\displaystyle t'=t\,}
最后一条方程式意味着时间是不受观测者的相对运动影响的。
利用线性代数 的术语来说,这种变换是个错切 ,是矩阵对向量进行变换的一个过程。当参考系只沿着x轴移动时,伽利略变换只作用于两个分量:
(
x
′
,
t
′
)
=
(
x
,
t
)
(
1
0
−
v
1
)
.
{\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}
虽然在伽利略变换中没有必要用到矩阵表达法,但是用了矩阵就可以和狭义相对论中的变换法进行比较。
沿着一个加速中观测者的世界线 所看到的时空 。 纵轴为时间,横轴为距离,虚线为观测者在时空中的轨迹。图的下半部是已经发生了的事件,上半部则是未来的事件。图中小点为时空中的事件。 世界线的斜率为观测者的相对速率。注意观测者在加速时所看到的时空会进行错切 。
伽利略变换可以唯一写成由时空的旋转、平移和匀速运动复合 而成的函数。[ 8] 设x 为三维空间中的一点,t 为一维时间中的一点。时空当中的任何一点可以表达为有序对 (x ,t )。速度为v 的匀速运动表达为
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
t
v
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}
,其中v 在R 3 内。平移表达为
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
a
,
t
+
b
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}
,其中a 在R 3 内,b 在R 内。旋转表达为
(
x
,
t
)
↦
(
G
x
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}
,其中G : R 3 → R 3 为某正交变换 。[ 8] 作为一个李群 ,伽利略变换的维度为10。[ 8]
这三种变换可更加数学化地表达为伽利略群[ 9] 。首先G为SO(3)中的旋转矩阵,3维内积在G的作用下保持不变,表达为:
<
G
x
→
,
G
y
→
>=<
x
→
,
y
→
>
{\displaystyle <G{\overrightarrow {x}},G{\overrightarrow {y}}>=<{\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}>\,\!}
设在某t时刻有映射
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
将空间上的某一点x映射到另一点
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
上。可证得
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
构成一个群。
结合律:
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
为线性映射,线性映射满足结合律。
单位元:
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}}
逆映射:
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
−
1
=
φ
t
(
−
G
−
1
a
→
,
−
G
−
1
b
→
,
G
−
1
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)^{-1}=\varphi _{t}(-G^{-1}{\overrightarrow {a}},-G^{-1}{\overrightarrow {b}},G^{-1})}
封闭性:
φ
t
(
a
′
→
,
b
′
→
,
G
′
)
∘
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
G
′
x
→
+
(
G
′
a
→
+
a
′
→
)
+
(
G
b
→
+
b
′
→
)
⋅
t
=
φ
t
(
G
′
a
→
+
a
′
→
,
G
b
→
+
b
′
→
,
G
G
′
)
(
x
→
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{t}({\overrightarrow {a'}},{\overrightarrow {b'}},G')\circ \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)({\overrightarrow {x}})=GG'{\overrightarrow {x}}+(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}})+(G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}})\cdot t\\=\varphi _{t}(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}},G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}},GG')({\overrightarrow {x}})\end{aligned}}}
对应的有:
空间平移:
φ
t
(
a
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
a
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}}
速度变换:
φ
t
(
0
→
,
b
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {b}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
空间旋转:
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},G)({\overrightarrow {x}})=G{\overrightarrow {x}}}
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
为不含时伽利略群,加上时间平移
t
↦
t
+
t
0
{\displaystyle t\mapsto t+t_{0}}
后映射
(
x
→
,
t
)
↦
(
φ
t
,
t
+
t
0
)
=
(
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
,
t
+
t
0
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},t)\mapsto (\varphi _{t},t+t_{0})=(G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t,t+t_{0})}
构成一个完整伽利略群,其依旧满足群的性质。完整伽利略群具有10个生成元,分别为3个空间平移(x,y,z),3个空间转动(对应3个坐标基矢),3个速度,以及一个时间平移。
这里我们只考虑伽利略群 的李代数 。结果能够轻易延伸到李群 。L的李代数由H、Pi 、Ci 和Lij 张成 (反对称张量 ),并能够受交换子 的作用,其中
[
H
,
P
i
]
=
0
{\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}
[
P
i
,
P
j
]
=
0
{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
,
H
]
=
0
{\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}
[
C
i
,
C
j
]
=
0
{\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
,
L
k
l
]
=
i
[
δ
i
k
L
j
l
−
δ
i
l
L
j
k
−
δ
j
k
L
i
l
+
δ
j
l
L
i
k
]
{\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}
[
L
i
j
,
P
k
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
−
δ
j
k
P
i
]
{\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}
[
L
i
j
,
C
k
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
−
δ
j
k
C
i
]
{\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}
[
C
i
,
H
]
=
i
P
i
{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}
[
C
i
,
P
j
]
=
0
.
{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}
H为时间平移的生成元(哈密顿算符 ),Pi 为平移的生成元(动量算符 ),Ci 为伽利略变换的生成元,而Lij 为旋转的生成元(角动量算符 )。
现在我们可以对H'、P'i 、C'i 、L'ij (反对称张量)、M所张成的李群进行中心扩张,使得M与一切都可交换 (位于中心 ,“中心扩张”因此得名):
[
H
′
,
P
i
′
]
=
0
{\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}
[
P
i
′
,
P
j
′
]
=
0
{\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
′
,
H
′
]
=
0
{\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}
[
C
i
′
,
C
j
′
]
=
0
{\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
′
,
L
k
l
′
]
=
i
[
δ
i
k
L
j
l
′
−
δ
i
l
L
j
k
′
−
δ
j
k
L
i
l
′
+
δ
j
l
L
i
k
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}
[
L
i
j
′
,
P
k
′
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
′
−
δ
j
k
P
i
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}
[
L
i
j
′
,
C
k
′
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
′
−
δ
j
k
C
i
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}
[
C
i
′
,
H
′
]
=
i
P
i
′
{\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}
[
C
i
′
,
P
j
′
]
=
i
M
δ
i
j
{\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}