广义逆阵

广义逆（Generalized inverse）^[1]，是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部分逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假设一矩阵${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$及另一矩阵${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$，若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$满足${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$，则${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$即为${\displaystyle A}$的广义逆阵。

广义逆也称为伪逆（pseudoinverse）^[2]，有些时候，伪逆特指摩尔－彭若斯广义逆。

建构广义逆阵的目的是针对可逆矩阵以外的矩阵（例如非方阵的矩阵）可以找到一矩阵有一些类似逆矩阵的特性。任意的矩阵都存在广义逆阵，若一矩阵存在逆矩阵，逆矩阵即为其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定义在和结合律乘法有关的数学结构（例如半群）中。

提出广义逆阵的原因

考虑以下的线性方程

${\displaystyle Ax=y}$

其中${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times m}$的矩阵，而${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)}$ ， ${\displaystyle A}$的列空间。 若矩阵${\displaystyle A}$为可逆矩阵，则${\displaystyle x=A^{-1}y}$即为方程式的解。而若矩阵${\displaystyle A}$为可逆矩阵

${\displaystyle AA^{-1}A=A}$

假设矩阵${\displaystyle A}$不可逆或是${\displaystyle n\neq m}$，需要一个适合的${\displaystyle m\times n}$矩阵${\displaystyle G}$使得下式成立

${\displaystyle AGy=y}$

因此${\displaystyle Gy}$为线性系统${\displaystyle Ax=y}$的解。 而同样的，${\displaystyle m\times n}$阶的矩阵${\displaystyle G}$也会使下式成立

${\displaystyle AGA=A}$

因此可以用以下的方式定义广义逆阵：假设一个${\displaystyle n\times m}$的矩阵${\displaystyle A}$，${\displaystyle m\times n}$的矩阵${\displaystyle G}$若可以使下式成立，矩阵${\displaystyle G}$即为${\displaystyle A}$的广义逆阵

${\displaystyle AGA=A}$

产生广义逆阵

以下是一种产生广义逆阵的方式^[3]：

1. 若${\displaystyle A=BC}$为其秩分解（英语：rank factorization），则${\displaystyle G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}}$为${\displaystyle A}$的广义逆阵，其中${\displaystyle C_{r}^{-}}$为${\displaystyle C}$的右逆矩阵，而${\displaystyle B_{l}^{-}}$为${\displaystyle B}$的左逆矩阵。
2. 若${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$，其中${\displaystyle P}$及${\displaystyle Q}$为可逆矩阵，则${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$是${\displaystyle A}$的广义逆阵，其中${\displaystyle U,V}$及${\displaystyle W}$均为任意矩阵。
3. 令${\displaystyle A}$为秩为${\displaystyle r}$的矩阵，在不失一般性的情形下，令${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}}$，其中${\displaystyle B_{r\times r}}$为${\displaystyle A}$的可逆子矩阵，则${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$为${\displaystyle A}$的广义逆阵。

广义逆阵的种类

彭若斯条件可以用来定义不同的广义逆阵：针对${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$及${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},}$

1.)	${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2.)	${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3.)	${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{\mathrm {T} }=AA^{\mathrm {g} }}$
4.)	${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {g} }A}$

若${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$满足条件(1.)，即为${\displaystyle A}$的广义逆阵，若满足条件(1.)和(2.)，则为${\displaystyle A}$的广义反身逆阵（generalized reflexive inverse），若四个条件都满足，则为${\displaystyle A}$的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他种类的广义逆阵

• 单边逆矩阵（左逆矩阵或是右逆矩阵）若矩阵A的维度是${\displaystyle n\times m}$且为 满秩，若${\displaystyle n>m}$则用左逆矩阵，若${\displaystyle n<m}$则用右逆矩阵。
  • 左逆矩阵为${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }}$，也就是${\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}}$，其中${\displaystyle I_{m}}$为${\displaystyle m\times m}$单位矩阵。
  • 右逆矩阵为${\displaystyle A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}}$，也就是${\displaystyle AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}}$，其中 ${\displaystyle I_{n}}$为${\displaystyle n\times n}$单位矩阵。
• 德拉任逆矩阵（英语：Drazin inverse）
• 博特-达芬逆矩阵（英语：Bott–Duffin inverse）
• 摩尔－彭若斯广义逆

应用

任何一种广义逆阵都可以用来判断线性方程组是否有解，若有解时列出其所有的解^[4]。若以下n × m的线性系统有解存在

${\displaystyle Ax=b}$

其中向量${\displaystyle x}$为未知数，向量b为常数，以下是所有的解

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w}$

其中参数w为任意矩阵，而${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$为${\displaystyle A}$的任何一个广义逆阵。解存在的条件当且仅当${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$为其中一个解，也就是当且仅当${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$。

参考资料

1. Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). [2016-07-10]. （原始内容存档 (PDF)于2016-11-30）.
2. Pseudo-Inverse of a Matrix. Inst.eecs.berkeley.edu. 2014-02-11 [2016-07-10]. （原始内容存档于2016-08-15）.
3. Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. James, M. The generalised inverse. Mathematical Gazette. June 1978, 62: 109–114. doi:10.2307/3617665.

• Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987.
• Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.
• S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. （原始内容存档于2016-08-18）.
• C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6.

相关条目

• 反元素
• 摩尔－彭若斯广义逆
• 弱逆（英语：Weak inverse）

外部链接

• 15A09 数学学科分类标准中对于反矩阵及广义逆阵的分类 search^{[永久失效链接]}