二复合二十面体

在几何学中，二复合二十面体是指由2个正二十面体复合而成的复合多面体。这种立体具备八面体群对称性。^[1]

二复合二十面体

类别	复合多面体
对偶多面体	二复合十二面体
识别
名称	二复合二十面体
参考索引	UC46
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	β{3,4} βr{3,3}
性质
体	2
面	40
边	60
顶点	24
欧拉特征数	F=40, E=60, V=24 （χ=4）
组成与布局
复合几何体数量	2
复合几何体种类	2个正二十面体
面的种类	40个正三角形
对称性
对称群	八面体群 (Oh)
查 论 编

完全扭棱八面体, β{3,4}

作为完全扭棱立体

二复合二十面体可以视作一种完全扭棱（holosnub）的立体，就类似正四面体可以扭棱成结构等价于正二十面体的扭棱四面体一般^[2]。作为一个完全扭棱立体的二复合二十面体在施莱夫利符号中可以用β{3,4}表示，在考克斯特符号中可以用表示。其中，符号β表示完全扭棱^[2]。

对称性

二复合二十面体由2个正二十面体组成，每个正二十面体由20个三角形组成。这40个三角形在对称群的群作用下分解为两条轨道：其中16个三角形两两共面落在八面体平面中，而其他24个三角形各自位于独立的平面中。其他具备二十面体对称性之立体的二复合体也具有类似特性。^[3]

相关多面体

二复合二十面体除了八面群对称性的复合结构外，还有另外两种复合结构。^[4]

• 
  二复合二十面体均匀复合体
• 
  沿着面几何中心到对应面几何中心的轴转的二复合体
• 
  沿着顶点到点的轴转的二复合体

二复合十二面体

二复合十二面体

类别	复合多面体
对偶多面体	二复合二十面体
性质
体	2
面	24
边	60
顶点	40
欧拉特征数	F=24, E=60, V=40 （χ=4）
组成与布局
复合几何体数量	2
复合几何体种类	2个正十二面体
面的种类	24个正五边形
对称性
对称群	八面体群 (Oh)
查 论 编

二复合二十面体是二复合十二面体的对偶多面体^[3]。二复合十二面体顾名思义即2个正十二面体的复合体。其可以透过将正十二面体沿着内接立方体的4重对称轴之一旋转90度产生下一个正十二面体并与原有的正十二面体复合而成。在这个复合体当中8个顶点是原始立方体的顶点，另外24个顶点位于更大立方体的面上。^[3]

这个立体的复合方式与五角十二面体的二复合体相同，皆位于对偶位置。同时五角十二面体的二复合体也是黄铁矿晶型的一种可能结构。^[5]

二复合五角十二面体：位于对偶位置的黄铁矿晶体模型的木质模型

这种复合结构由24组多边形组成，每组多边形包含2个不等边三角形和一个等腰三角形。其中不等边三角形的一个边长与等腰三角形的腰长相等，且其长度与二复合体对应的正十二面体边长相等、第二条边长为正十二面体边长的一半、第三条边长为：^[6]

长边长度${\displaystyle ={\frac {\sqrt {4+{\sqrt {5}}}}{2}}a}$

等腰三角形的底边长为：^[6]

底边长${\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}a=\varphi a}$

则其表面积${\displaystyle A}$为：^[6]

${\displaystyle A=6{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}a^{2}\approx 22.8254a^{2}}$

其中${\displaystyle a}$为二复合体对应的正十二面体边长、${\displaystyle \varphi }$为黄金比例。^[6]

完全扭棱立体

完全扭棱立体

原像	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体	正二十面体
完全扭棱	完全扭棱四面体 β{3,3}	完全扭棱立方体 β{4,3}	二复合二十面体 β{3,4}	完全扭棱十二面体 β{5,3}	完全扭棱二十面体 β{3,5}

参见

• 二复合扭棱立方体（英语：Compound of two snub cubes）

参考文献

1. Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 (3): 447–457, MR 0397554, doi:10.1017/S0305004100052440
2. Klitzing, Richard. Snubs, Alternated Facetings, & Stott-Coxeter-Dynkin Diagrams. Symmetry-Culture and Science (Symmetrion 29 etvs st, Budapest, 1067, Hungary). 2010, 21 (4): 329––344.
3. George W. Hart. Compounds of Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2019-04-17）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
4. Weisstein, Eric W. (编). Icosahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
5. Modell eines Kristalls des Minerals Pyrit (Eisernes Kreuz) [Krantz 375]. universitaetssammlungen.de. [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-09-05）. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
6. Weisstein, Eric W. (编). Dodecahedron 2-Compound. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.