2i

${\displaystyle 2i}$是在虚轴正向距离原点两个单位的纯虚数，属于高斯整数^[2]:13，为虚数单位的两倍^[2]:12，同时也是负四的平方根^{[2]:12[3][4]:ix[5][6][7][8]}，是方程式${\displaystyle x^{2}+4=0}$的正虚根^[3][9]:10。日常生活中通常不会用${\displaystyle 2i}$来计量事物，例如无法具体地描述何谓${\displaystyle 2i}$个人，逻辑上${\displaystyle 2i}$个人并没有意义。^[10]部分书籍或教科书偶尔会使用${\displaystyle 2i}$来做虚数的例子或题目。^[11]

此条目页的主题是一个虚数。关于2i的其他意义和用法，请见“2I”。

2i

2i
数表 — 高斯整数 << −3i −2i −i 0  i  2i  3i >>
${\displaystyle 2i}$在高斯平面上的位置
命名
名称	2i 负四的平方根 二虚数单位
性质
高斯整数分解	${\displaystyle (1+i)^{2}}$
绝对值	2[1]
以此为根的多项式或函数	${\displaystyle x^{2}+4=0}$
表示方式
值	2倍虚数单位 ${\displaystyle 2i}$
代数形式	${\displaystyle 2{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$
十进制	2i
-1+i进制	1110100
2i进制	10
查 论 编

高斯整数导航
			↑
			2i
		−1+i	i	1+i
←	−2	−1	0	1	2	→
		−1−i	−i	1−i
			−2i
			↓

在高斯平面上，与${\displaystyle 2i}$相邻的高斯整数有${\displaystyle i}$和${\displaystyle 3i}$（上下相邻；纯虚数）以及${\displaystyle 2i-1}$和${\displaystyle 2i+1}$（左右相邻），然而复数不具备有序性，即无法判断${\displaystyle 2i}$与${\displaystyle 3i}$间的大小关系，因此无法定义${\displaystyle i}$与${\displaystyle 3i}$何者为${\displaystyle 2i}$的前一个虚数、何者为${\displaystyle 2i}$的下一个虚数。

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与${\displaystyle 2i}$相邻的高斯整数示意图

性质

• ${\displaystyle 2i}$不属于实数，是一个纯虚数，同时也是复数位于复平面，其实部为0、虚部为2^[12]，辐角为90度（${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$弧度）^[13]，其也能表达为${\displaystyle 2e^{i\pi /2}}$^[14]:7或${\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)}$^[15]。
• ${\displaystyle 2i}$是一个高斯整数^[16][17][18]，高斯整数分解为${\displaystyle (1+i)^{2}}$^[19]:711，或${\displaystyle (1+i)(1+i)}$^[20]:433，其中，1+i为2i的高斯素因数。^{[19]:711[21][22]:247}
• 所有复数的可以表达为${\displaystyle 2i}$之幂的线性组合。^[23]换句话说若进位制以${\displaystyle 2i}$为底数，则可独一无二地表示全体复数^[24]。该进制称为2i进制，由高德纳于1955年发现。^[25]
• 复数的虚数部可以定义为复数与其共轭复数之差除以${\displaystyle 2i}$的商，^[26]换言之，则${\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)}$。^[2]:32

  ${\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}}$

• 正弦函数可以定义为纯虚指数函数与其倒数之差除以${\displaystyle 2i}$的商。^{[27][28]:41[2]:64}

  ${\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

• ${\displaystyle 2i}$等于最小的素数和虚数单位的积，即${\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i}$^[15]，其中${\displaystyle p_{n}}$为第${\displaystyle n}$个素数。
• 虚数单位和虚数单位的倒数相差${\displaystyle 2i}$。
• 任意数与${\displaystyle 2i}$相乘的意义为模放大两倍并在复平面上以原点为中心逆时针旋转90度。^{[14]:7[2]:20-21}

2i的幂

${\displaystyle 2i}$的前几次幂为1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...^[29]，其会在实部和虚部交错变换，其单位会在1、i、−1、−i中变化。其中，实数项为−4的幂^[30] ，虚数的正值项为16的幂的2倍^[31] 、虚数的负值项为16的幂的−8倍^[32]，因此这种特性使得${\displaystyle 2i}$作为底数可以不将复数表达为实部与虚部就能表示全体复数，^[29]并且有研究以此特性设计复数运算电路^[33]。

2i的平方根

${\displaystyle 2i}$的平方根正好是实数单位与虚数单位的和，即${\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i}$^[28]:3，反过来说${\displaystyle 2i}$正好是实数单位与虚数单位相加的平方，${\displaystyle (1+i)^{2}=2i}$^[34][35]:388。若考虑平方根的正负，则1+i和−1−i都是${\displaystyle 2i}$的平方根。

相关数字

−2i

${\displaystyle -2i}$是${\displaystyle 2i}$的相反数，其平方根曾提议作为复数进位制的底数。^[36]

1+i

${\displaystyle 1+i}$是${\displaystyle 2i}$的平方根^[28]，同时也是高斯素数^[37]。由于其幂次为1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正负、虚实交替变化，因此若作为进位制底数可以表达全体复数。但其组合变化相较于${\displaystyle -1+i}$为底数的进位制，${\displaystyle -1+i}$做为底数更为适合。^[38]亦有另外一个数也为${\displaystyle 2i}$的平方根，即${\displaystyle -1-i}$，但这个数较少出现于探讨进位制底数的文章中，也没有其他特殊的性质。此外，${\displaystyle -1-i}$也不是第一象限高斯素数，因此鲜少被拿出来讨论。

−1+i

−1+i

−1+i
命名
名称	−1+i
性质
高斯整数分解	${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(1+i\right)}$
绝对值	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
表示方式
值	${\displaystyle -1+i}$
代数形式	${\displaystyle {\sqrt {-2i}}}$
十进制	−1+i
2i进制	113.2
查 论 编

在−1+i进位制系统中整数部分全为零的复数

参见：-1±i进制

${\displaystyle -1+i}$是${\displaystyle -2i}$的平方根。距离原点${\displaystyle {\sqrt {2}}}$单位，辐角为135度（${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$弧度^[39]），其实部为负一、虚部为1。${\displaystyle -1+i}$不是高斯素数，其可以分解为i和1+i的乘积。由于其幂次为−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正负、虚实交替变化，因此其可以构建一个以${\displaystyle -1+i}$为底数并用1和0表达复数的进位制^[36][40]。其他复数虽然也可以，如${\displaystyle 1-i}$，但对高斯整数而言，以${\displaystyle 1-i}$为底并不是一个优良的选择。^[38]虽然${\displaystyle 1-i}$也是${\displaystyle -2i}$的平方根，但因为上述原因，所以${\displaystyle 1-i}$这个数字通不会用来作为进制的底数来使用。

除了${\displaystyle -1+i}$外，其他${\displaystyle -n+i}$形式的复数也能作为进位制底数，但其在表达数的范围不同，以${\displaystyle -1+i}$为例，其表达的范围较为均匀，而${\displaystyle -2+i}$、${\displaystyle -3+i}$等则会越来越狭长。^[41]

−1+i进制与相关进制比较

十进制	二进制	2i进制	−1+i进制	−2+i进制
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	10	2	1100	2
−1	−1	103	11101	144
−2	−10	102	11100	143
i	i	10.2	11	12
2i	10i	10	1110100	24
3i	11i	20.2	1110111	1341
−i	−i	0.2	111	133
−2i	−10i	1030	100	121
−3i	−11i	1030.2	110011	13304
1+i	1+i	11.2	1110	13
1−i	1−i	1.2	111010	134
−1+i	−1+i	113.2	10	11
−1−i	−1−i	103.2	110	132
2+i	10+i	12.2	1111	14
2−i	10−i	2.2	111011	1440
−2+i	−10+i	112.2	11111	10
−2−i	−10−i	102.2	11101011	131

相邻的高斯整数

−1+3i	3i	1+3i
−1+2i	2i	1+2i
−1+i	i	1+i
与${\displaystyle 2i}$相邻的高斯整数示意图

3i

“3i”重定向至此。关于与本条目同名之其他主题，请见“3I”。

${\displaystyle 3i}$是在虚轴正向距离原点3个单位的纯虚数，是虚数单位的三倍，同时也是负九（−9）的平方根，与纯虚数2i和4i相邻、并与高斯整数−1+3i和1+3i相邻。

${\displaystyle 3i}$的为虚数单位与素数3的乘积，其中，3也是高斯素数，因此${\displaystyle 3i}$的高斯整数分解为${\displaystyle }$${\displaystyle i\times 3}$。

−1+2i

${\displaystyle -1+2i}$是在虚轴正向距离原点${\displaystyle {\sqrt {5}}}$个单位的高斯整数，其实部为负一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数−1+3i、−1+i和−2+2i相邻。

${\displaystyle -1+2i}$不是高斯素数，其具有高斯素因数${\displaystyle 2+i}$。${\displaystyle -1+2i}$的高斯整数分解为${\displaystyle }$${\displaystyle i\times \left(2+i\right)}$。

1+2i

${\displaystyle 1+2i}$是一个高斯素数 ^[37]，在虚轴正向距离原点${\displaystyle {\sqrt {5}}}$个单位，其实部为一、虚部为2i，与纯虚数2i相邻、并与高斯整数1+3i、1+i和3+2i相邻。

参见

• 虚数单位
• -2

参考文献

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